一、写出下列系统框图的系统方程，并求其冲激响应。（15分）
解：x”(t)+4x’(t)+3x(t)=f(t)
y(t)=4x’(t)+x(t)
则：y”(t)+4y’(t)+3y(t)=4f’(t)+f(t)
根据h(t)的定义有
h”(t)+4h’(t)+3h(t)=δ(t)
h’(0-)=h(0-)=0
先求h’(0+)和h(0+)。
因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得
[h’(0+)-h’(0-)]+4[h(0+)-h(0-)]+3=1
考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得
h(0+)=h(0-)=0
h’(0+)=1+h’(0-)=1
对t>0时，有
h”(t)+4h’(t)+3h(t)=0
故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-1，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C1e-t+C2e-3t)ε(t)
代入初始条件求得C1=0.5,C2=-0.5,所以
h(t)=(0.5e-t–0.5e-3t)ε(t)
二、描述某系统的微分方程为
y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f(t)
求当f(t)=2e-2t，
t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的解；（15分）
1解:(1)特征方程为λ2+4λ+3=0其特征根λ1=–1，λ2=–2。齐次解为
yh(t)=C1e-t+C2e-3t当f(t)=2e–2t时，其特解可设为
yp(t)=Pe-2t将其代入微分方程得
P*4*e-2t+4(–2Pe-2t)+3Pe-t=2e-2t解得P=2于是特解为
yp(t)=2e-t全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e-t+C2e-3t+2e-2t其中待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0)=C1+C2+2=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1
解得C1=1.5，C2=–1.5最后得全解
y(t)=1.5e–t–1.5e–3t+2e–2t,t≥0
三、描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
求当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的解；（15分）解:(1)特征方程为λ2+5λ+6=0
其特征根λ1=–2，λ2=–3。齐次解为
yh(t)=C1e-2t+C2e-3t当f(t)=2e–t时，其特解可设为
yp(t)=Pe-t?s将其代入微分方程得
e(1?e?s?se?ss2)Pe-t+5(–Pe-t)+6Pe-t=2e-t解得P=1于是特解为
yp(t)=e-t全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e-2t+C2e-3t+e-t2其中待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1
解得C1=3，C2=–2最后得全解
y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0
四、计算题（共15分）已知信号f(t)?t?(t)
1、分别画出f1(t)?t?t0、f2(t)?(t?t0)?(t)、f3(t)?t?(t?t0)和
f4(t)?(t?t0)?(t?t0)的波形,其中t0?0。（5分）
2、指出f1(t)、f2(t)、f3(t)和f4(t)这4个信号中，哪个是信号f(t)的延时t0后
的波形。并指出哪些信号的拉普拉斯变换表达式一样。（4分）3、求f2(t)和f4(t)分别对应的拉普拉斯变换F2(s)和F4(s)。（6分）解：1、
2、f4(t)信号f(t)的延时t0后的波形。（2分）3、F2(s)?F1(s)?
F4(s)?
1t0?（2分）2ss1?st0e。（2分）s23解：部分分解法 F(s)?其中k1?sF(s)s?0
?
10(s?2)(s?5)(s?1)(s?3)10(s?2)(s?5)
s(s?3)kk1k2
??3（m?n）ss?1s?31003?
s?0
解：k2?(s?1)F(s)s??1
?
??20
s??1
k3?(s?3)F(s)s??3
?
10(s?2)(s?5)
s(s?1)??
s??3
103解：?F(s)?
1002010
??
3ss?13(s?3)10?100?
?f(t)???20e?t?e?3t??(t)
3?3?
六、
s3?5s2?9s?7
已知F(s)?,
(s?1)(s?2)求其逆变换
解：分式分解法 F(s)?s?2?其中k1?(s?1)? k2?
s?3(s?1)(s?2)k1k?2s?1s?2?2
s??1
s?3
??1
s?1s??2
21?
s?1s?2?F(s)?s?2?
?f(t)??'(t)?2?(t)?(2e?t?e?2t)?(t)
七、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为8ms，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。（10分）
41f(t)0…Tt-T??2?2解：付里叶变换为
1e?jn?t?
T?jn?
?2??2n??sin()22?Tn?
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。
14Fn?2?02?4????ω八、周期信号
12???1?cos?t?23?4f(t)=
???1????sin?t??
6??4?3试求该周期信号的
基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。解
首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
12???????1??cos?t?????cos?t???2362??4?4?3f(t)?1?
显然1是该信号的直流分量。
1??2??cos???4?33?
的周期T1=81????cos?t??23??4的周期T2=65
信号与系统计算题练习
