故反射光线所在的直线l3的方程为（3）设与l3平行的直线为
，
．…（9分）
根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，
所以与l3为：，或．…（13分）
【点评】本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．
23．（2015秋?嘉峪关校级期末）已知直线l：y=3x+3 求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标； （2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．
【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；
（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．
【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），
则由 ，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．
（2）由，解得：交点为，
在直线y=x﹣2上任取点（2，0）， 得到对称点为
，
所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0
【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，利用了垂直、和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．
24．（2014秋?宜秀区校级期中）已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．
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【分析】本题实际是求点M关于l的对称点M1，点M关于y轴的对称点M2，求得直线M1M2的方程，
与y轴交点为Q，与直线l：x﹣2y+2=0的交点为P．
【解答】解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）．同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（﹣3，5）． 据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y﹣7=0． 得交点P（，）．
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，）． 解方程组 x+2y﹣7=0， x﹣2y+2=0，
故点P（，）、Q（0，）即为所求．
【点评】本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．
25．（2010?广东模拟）已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．
【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．
法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l与l1夹角的关系求解．
法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l的方程．
【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，
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此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9）， 截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1． 解方程组A（
，﹣
得 ）．
得 ）．
解方程组B（
，﹣
由|AB|=5． 得（
﹣
）2+（﹣
+
）2=52．
解之，得k=0，直线方程为y=1． 综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．
解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d==，
且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5， 设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ=
=
，故θ=45°．
由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°， 又由直线l过点P（3，1），故直线l的方程为：x=3或y=1．
解法三：设直线l与l1、l2分别相交A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0． 两式相减，得（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=5．① 又（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=25．② 联立①、②可得
或
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°． 故所求的直线方程为x=3或y=1．
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【点评】本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．
26．（2009秋?重庆期末）已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．
【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．
【解答】解：设直线l′的斜率为k′，
则，…（7分）
，…（10分）
直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）
【点评】本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．
27．已知点A（2，0），B（0，6），O为坐标原点． （1）若点C在线段OB上，且∠ACB=
，求△ABC的面积；
（2）若原点O关于直线AB的对称点为D，延长BD到P，且|PD|=2|BD|，已知直线L：ax+10y+84﹣108
=0经过点P，求直线l的倾斜角．
【分析】（1）依据条件求出AC的斜率，可得点C的坐标，即得边长BC，点A的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．
（2）利用对称的特点，待定系数法求出原点O关于直线AB的对称点D的坐标，由题意可得
=2
，把相关向量的坐标代入，利用两个向量相等的条件求出点
P的坐标，再把点P的坐标代入代入直线l的方程，求出a，即得直线l的斜率，
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由斜率求直线l的倾斜角．
【解答】解：（1）∵点C在线段OB上，且∠ACB=倾斜角为
，
得 b=2，即点C（0，2），
×4×2=4． ，∴∠ACO=
，故AC的
故AC的斜率为﹣1，设点C（0，b），由﹣1=
BC=4，点A到BC的距离为2，故△ABC的面积为
（2）设D（m，n），点P（c，d），AB的方程+=1，即 3x+y﹣6=0，
由 得 m=，n=，故D（，），
=（﹣c，﹣d），
=2
，
=（﹣，），
由题意知，∴
﹣c=﹣
，﹣+10?
，﹣d=），把P（+84﹣108
=﹣
，解得 c=，﹣
，d=﹣，
=0，
故P（得 a?
）代入直线l：ax+10y+84﹣108
．
=0，即得 a=10
∴直线l的斜率为 ，故直线l的倾斜角为 120°．
【点评】本题考查直线的倾斜角的定义，倾斜角与斜率的关系；点关于直线的对称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．
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(完整版)高中数学直线方程练习题
