第3讲 三角变换与解三角形
考点1 三角恒等变换
1．三角求值“三大类型”
“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sinθ＋cosθ＝tan45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sinα＋2cosα＝(sinα＋cosα)＋cosα，α＝(α－β)＋β等；
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
2
2
2
2
2
2
2
?π?[例1] (1)[2019·全国卷Ⅱ]已知α∈?0，?，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝
2??
( )
15
A. B. 55C.
325 D. 35
510
，sin β＝，且α，β为510
(2)[2019·天津南开大学附属中学月考]已知sin α＝锐角，则α＋β为( )
A.C.
ππ3π
B.或 4443ππ D. 43
【解析】 (1)本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．
由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sinα＋1，即2sin αcos α＝1－
2
?π?22
sinα.因为α∈?0，?，所以cos α＝1－sinα，所以2sin α
2??
解得sin α＝5
，故选B. 5
1－sinα＝1－sinα，
22
(2)∵sin α＝
51025310，sin β＝，且α，β为锐角，∴cos α＝，cos β＝，510510
253105102π
∴cos(α＋β)＝×－×＝，又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.故选A.
51051024
【答案】 (1)B (2)A
化简三角函数式的规律
规律 一角 解读 一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化” 三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等 (1)常用技巧：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的温馨 提醒 代换等． (2)根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负 二名 三结构 『对接训练』
2cos 2θ
1．[2019·山东济南长清月考]若
?πcos?＋θ
?412A. B. 3321C．－ D．－
33
?
??
＝3sin 2θ，则sin2θ＝( )
?π＋2θ
2cos 2θ?2
解析：通解 ∵＝3sin 2θ，∴
?π??π?cos?＋θ?cos?＋θ??4??4?
2sin?
?
??
?π?＝22sin?＋θ?＝3sin ?4?
π?π?π??π???2?2θ，∴22sin?＋θ?＝－3cos?2θ＋?，∴23sin?θ＋?－22sin?θ＋?－3＝
2?4?4??4????π?6?0，得sin?θ＋?＝－，
4?6?
?π
∴sin 2θ＝－cos?＋2θ
?2
2cos 2θ
优解 ∵?πcos?＋θ?4
?＝2sin2?π＋θ??4???－1＝－2.故选C.
?3?
2
2
?
??
＝3sin 2θ，∴2?cosθ－sinθ?2
?cos θ－sin θ?2
＝3sin 2θ，
22
∴2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，∴3sin2θ－4sin 2θ－4＝0，得sin 2θ＝－.
3故选C.
答案：C
π??2．[2019·全国高考信息卷]若α为第二象限角，且sin 2α＝sin?α＋?cos(π－α)，2??π??则2cos?2α－?的值为( )
4??
11
A．－ B. 5544C. D．－ 33
π??2
解析：∵sin 2α＝sin?α＋?cos(π－α)，∴2sin αcos α＝－cosα，∵α是第二
2??12222
象限角，∴cos α≠0,2sin α＝－cos α，∴4sinα＝cosα＝1－sinα，∴sinα＝，
5
π??222
∴2cos?2α－?＝cos 2α＋sin 2α＝cosα－sinα＋2sin αcos α＝－sin α＝
4??1
－.故选A. 5
答案：A
考点2 利用正、余弦定理解三角形
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinAsinAsinBsinC＝，a：b：c＝sinA：sinB：sinC等． 2R2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a＝b＋c－2bccosA；
2
2
2
abcab2＋c2－a2
变形：b＋c－a＝2bccosA，cosA＝.
2bc2
2
2
3．三角形面积公式
S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.
[例2] (1)[2019·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，aπ
＝2c，B＝，则△ABC的面积为________；
3
(2)[2019·江西南昌段考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin Bcos
1
21212
C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B等于( )
A.C.
5ππ B. 632ππ D. 36
1
2
【解析】 (1)本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查方程思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．
π222
解法一 因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b＝a＋c－2accos B，得62＝(2c)2
3π112
＋c－2×2c×ccos，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×43
322π
×23×sin＝63.
3
π222
解法二 因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b＝a＋c－2accos B，得62＝(2c)2
3ππ2222
＋c－2×2c×ccos，得c＝23，所以a＝43，所以a＝b＋c，所以A＝，所以△ABC321
的面积S＝×23×6＝63.
2
1
(2)因为asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，所以由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin
2
Bcos A＝sin B，又sin B≠0，所以sin Acos C＋cos Asin C＝，即sin(A＋C)＝，因为A＋C＝π－B，所以sin(π－B)＝，即sin B＝.又a>b，所以A>B，所以B为锐角，所以Bπ
＝.故选D. 6
【答案】 (1)63 (2)D
(1)正、余弦定理的适用条件 12
12
121212
①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． ②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
(2)三角形面积公式的应用原则
111
①对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公
222
式．
②与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.
『对接训练』
3．[2019·广西南宁摸底联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cπ
＝3，C＝，sin B＝2sin A，则△ABC的周长是( )
3
A．33 B．2＋3 C．3＋3 D．4＋3
解析：因为sin B＝2sin A，所以由正弦定理得b＝2a，由余弦定理得c＝a＋b－2abcos
2
2
2
C＝a2＋4a2－2a2＝3a2，又c＝3，所以a＝1，b＝2.故△ABC的周长是3＋3.故选C.
答案：C
4．[2019·福建泉州阶段检测]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
C＝
22
，bcos A＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为( ) 3
A．4π B．8π C．9π D．36π
b2＋c2－a2a2＋c2－b2b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2
解析：由余弦定理得b·＋a·＝2，即＝2，得
2bc2ac2cc＝2，由cos C＝
221c得sin C＝.设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得2R＝＝33sin C2
6，得R＝3，所以△ABC的外接圆面积为πR＝9π.故选C.
答案：C
考点3 正、余弦定理的综合应用
[例3] [2019·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin
A＋C2
＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
2020版高考数学大二轮复习3.3三角变换与解三角形学案理
