(完整版)拉普拉斯变换表

拉普拉斯变换及反变换

1. 表A-1 拉氏变换的基本性质

1 线性定齐次性 L[af(t)]?aF(s) 理 叠加性 L[f1(t)?f2(t)]?F1(s)?F2(s) L[df(t)dt]?sF(s)?f(0) L[d2f(t) dt2]?s2F(s)?sf(0)??f?（0） 2 微分定一般形式 ???????理 L?dnf(t)n??snF(s)?sn?k(k?1)dtn?f(0)k?1k?1f(k?1)(t)?df(t)dtk?1??????初始条件为0时 L[dnf(t)dtn]?snF(s) L[?f(t)dt]?F(s)[?f(t)dt]t?s?0s L[??f(t)(dt)2]?F(s)[t)dt]t?0[ 一般形式 ?f(??f(t)(dt)2]t?0 s2?s2?s3 积分定?理 ?共n个?个L[???f(t)(dt)nn共n]?F(s)1sn??n?k?1[k?1s???f(t)(dt)n]t?0初始条件为0时 ?共n个L[???f(t)(dt)n]?F(s)n s4 延迟定理（或称t域平移定L[f(t?T)]?e?TsF(s) 理） 5 衰减定理（或称s域平移定L[f(t)e?at]?F(s?a) 理） 6 终值定理 limt??f(t)?lims?0sF(s) 7 初值定理 limt?0f(t)?lims??sF(s) 8 卷积定理 L[?tf1(t??)f2(?)d?]?L[?t00f1(t)f2(t??)d?]?F1(s)F2(s) 1

．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

拉氏变换时间函数e(t) E(s) 1 δ(t) 1?1?e?Ts ?T(t)???(t?nT) n?01s 1(t) 1s2 t 1 t2s32 1 tnsn?1n! 1s?a e?at 1(s?a)2 te?at as(s?a) 1?e?at b?a(s?a)(s?b) e?at?e?bt ?s2??2 sin?t ss2??2 cos?t ?(s?a)2??2 e?atsin?t s?a(s?a)2??2 e?atcos?t 1 t/Ts?(1/T)lna a 2

2

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0F(s)??A(s)ansn?an?1sn?1???a1s?a0 （n?m）

式中系数a0,a1,...,an?1,an，b0,b1,?bm?1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。

① A(s)?0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

ncicncc1c2F(s)??????????is?s1s?s2s?sis?sni?1s?si （F-1）

式中，s1,s2,?,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)

在si处的留数，可按下式计算：

(s?si)F(s) ci?lims?si（F-2） 或

ci?（F-3）

式中，A?(s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

(F-4)

3

B(s)A?(s)

s?si?nci?f(t)?L?F(s)??L???s?si?1i???1?1＝

?ce

i?siti?1n

② A(s)?0有重根

设A(s)?0有r重根s1，F(s)可写为

F?s??B(s)

(s?s1)r(s?sr?1)?(s?sn)cicncrcr?1c1cr?1???????????(s?s1)s?sr?1s?sis?sn(s?s1)r(s?s1)r?1=

式中，s1为F(s)的r重根，sr?1，…, sn为F(s)的n-r个单根；

其中，cr?1，…, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr?1，…, c1则按下式计算：

cr?lim(s?s1)rF(s) s?s1cr?1?lims?s1d[(s?s1)rF(s)] ds?

cr?j1d(j)?lim(j)(s?s1)rF(s) (F-5) j!s?s1ds?

1d(r?1) c1?lim(r?1)(s?s1)rF(s)

(r?1)!s?s1ds原函数f(t)为 f(t)?L?1?F(s)?

?crcicn?cr?1c1cr?1?L?1????????????? rr?1(s?s1)s?sr?1s?sis?sn?(s?s1)?(s?s1)n?cr?s1tcr?1r?2r?1??t?t???c2t?c1?e??ciesit （F-6）

(r?2)!i?r?1?(r?1)!?

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