3 弹性力学平面问题3.1弹性力学基本概念3.2弹性力学平面问题基础弹性力学的基本任务有哪些？平面问题的分类？平面应力问题的基本特征和分量平面应变问题的基本特征和分量平面问题的基本方程（几何方程、物理方程、平衡方程）和边界条件弹性力学的基本假设？弹性力学的研究方法如何？弹性力学中的基本量有哪些？第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念一、弹性力学的任务?弹性力学是固体力学的分支学科，研究一般弹性体在外部因素（力、温度变化等）作用下产生的应力、变形；并为机械零件、工程结构的强度、刚度、稳定性分析提供理论工具。?弹性力学与材料力学和结构力学的比较：??1）基本任务相同2）研究对象和范围有所区别材料力学：研究杆状构件结构力学：研究杆件系统弹性力学：研究一般弹性体的一般行为。如二、三维实体，板壳结构，应力集中体，无限、半无限体等。第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念二、弹性力学的基本假设??为什么要作基本假设？对实际研究对象根据所研究的层次和范围，进行科学抽象和假设，突出主要矛盾，以建立可用的模型。1)连续性假设?假设物体所占的空间被组成该物体的介质所充满，不留任何空隙。不考虑介质的微观物质结构。物体内的物理量就能用空间坐标的连续函数来描述。2)均匀性假设?认为物体由同一种材料组成，内部的物理性质处处完全相同。3）各向同性假设?假设物体内每一点沿不同方向的物理性质相同，如弹性常数，导热系数等。第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念4)完全弹性假设?假设物体在外加因素去除后能完全恢复原来形状，没有剩余变形。同时认为应力与应变呈线性关系，即服从虎克定律。5）微小变形假设?假设物体在载荷作用下产生的位移远远小于物体的特征尺寸，应变分量和转角均远小于1。?上述5项假设中，前四个属于物理假设，符合前四个基本假设的称为理想弹性体。第五个假设属于几何假设，符合该假设的理想弹性体的问题称为线性弹性力学。第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念三、弹性力学的研究方法?与材料力学研究方法的比较：?材料力学：除了引入“基本假设”，还根据不同对象引入补充假设，如：直梁弯曲的“平面假设”，“纵向纤维无挤压”假设；扭转理论中的“刚性平面”假设等。弹性力学：除了必要的基本假设外，不再引入补充假设，而是严格按照静力学、几何学、物理学三方面的条件建立基本方程和边界条件，求得精确结果。因而弹性力学可以对材料力学的理论和解答进行验证考核。?第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念?弹性力学研究方法概述1）研究弹性体内微分单元体的平衡，写出一组平衡微分方程；2）由于平衡方程数少于未知应力数，必须考虑几何方面的关系：应变分量和位移分量之间的微分方程。3）再引入应力和应变之间的物理关系——广义虎克定律。4）边界上单元体的内部应力和外部载荷之间的平衡，得到应力边界条件；考虑边界位移约束得到位移边界条件。上述基本方程和边界条件组成一个复杂的偏微分方程边值问题，可以确定弹性体中的位移场、应力场、应变场。第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念?弹性力学问题的求解策略1）解析法—精确解a. 应力解法b. 位移解法2）能量法（变分法）—近似解3）数值法—近似解a.有限差分法b.有限元法c.边界元法第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念四、弹性力学中的基本量?弹性力学中用以描述研究对象状态的基本力学量包括：外力、应力、应变、位移。外力1)体积力（体力）：物体内部单位体积上所受外力称为体力（矢量）。如：重力、惯性力等。2)表面力（面力）：物体表面单位面积上所受外力称为面力（矢量）。如：静水压力、接触力等。在弹性力学中体力、面力均为空间坐标的函数。?第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念?应力弹性体中某一点的应力状态用9个应力分量表示：?x,?xy,?xz?y,?yz,?yx?z,?zx,?zy其中由于剪应力互等，只有6个独立分量。?应变空间问题的一点应变分量包括：3个正应变：?x,?y,?z3个剪应变：?xy,?yz,?zx第三章弹性力学平面问题有限元法§3.1 弹性力学基本概念?位移弹性体受力变形后任意一点都产生位置的变化，形成一个位移矢量，其在坐标轴上的投影（位移分量）用u，v，w 表示。?一般情况下，各点的应力、应变、位移分量是其空间坐标的函数。第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础弹性力学平面问题基础??任何实际变形体的力学问题都是空间问题（三维问题），所受的外力一般都是空间力系。在某些特殊情况下，比如物体具有特殊形状，受特殊的外力，特殊的位移约束时，空间问题就可以简化成平面问题。此时，问题的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数。所求未知力学量只是二维空间内的分量。???这种平面问题模型下，所得到的结果能满足工程上的精度要求，而分析计算工作量大大减少。大量的固体力学问题都可以简化为平面问题。平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题。第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础一、平面应力问题?平面应力问题的基本特征：1）几何特征?物体在一个方向（z)的尺寸远远小于其它两个方向（x,y)的尺寸。几何上为均匀薄板。2）受力特征?薄板上下两个面上无载荷作用；?周边侧面上受到平行于板面且沿板厚均匀分布的面力作用；?体力平行于板面且不沿板厚变化（x,y的函数）。平面应力问题模型第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础?平面应力问题的应力、应变、位移分量由基本特征推出：?z=?zx=?zy=0?应力分量：(?z?0)（非独立）?x,?y,?xy?应变分量：——x,y的函数?x,?y,?xy?位移分量：——x,y的函数u=u(x,y)v=v(x,y)第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础二、平面应变问题?平面应变问题的基本特征：1）几何特征?一个方向（z)尺寸远远大于其它两个方向（x,y)的尺寸,呈现为无限长等截面柱体；或任何横截面可以看作对称面：z方向无位移。2）受力特征?外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿纵向不变化。平面应变问题的例子第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础?平面应变问题的应力、应变、位移分量由基本特征推出：?z=?zy=?zx=0?z?0?应变分量：?（非独立）?x,?y,?xy?应力分量：——x,y的函数?x,?y,?xy?位移分量：——x,y的函数u=u(x,y)v=v(x,y)平面应变问题的例子第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础三、平面问题基本方程和边界条件?平面应力和平面应变问题都归结为求解平面内的3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量。要求解这些未知力学量，需要研究平面弹性体的平衡、几何、物理关系得到足够的方程。?一）平面问题几何方程——应变～位移关系?u???x=??x??x???x????v???=??y?=?0?y=?y?????xy???u?v??xy=+?y???y?x?几何方程对于平面应力和平面应变问题相同?0?????u?????y?v?????x??算子矩阵第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础二）平面问题的物理方程——应力～应变关系?对于平面应力问题，应用虎克定律可导出应力与应变之间的关系。???x??1E??????=??y?=?2?1??????0?xy????0???x????10??y?1????????xy?02????=?D??????0??1?E??——平面应力弹性矩阵，对称方阵。?D?=?1021???1????00?2???平面应变问题弹性矩阵可按如下办法得到。将平面应力弹性矩阵中的弹性常数作如下变换：?E?因此，对于平面问题的推导和编程，?→E→1??21?u只按平面应力问题处理。第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础三）平面问题的平衡方程通过研究微分单元体平衡，得到下列平衡微分方程：??x??xy++fx=0?x?y??xy??y++fy=0?x?yfx，fy为体力分量。第三章弹性力学平面问题有限元法§3.2 弹性力学平面问题基础四）平面问题边界条件?平面弹性体的边界分为位移边界Su和应力边界?St通过前面的基本方程求解弹性力学问题时，必须考虑上述边界上位移的协调和力的平衡——边界条件。边界条件描述如下：1）位移边界条件?u=u,v=v2）应力边界条件在Su上l，m为边界外法线方向余弦tx，ty为边界上面力分量l?x+m?xy=txm?y+l?xy=ty第三章弹性力学平面问题有限元法
弹性力学平面问题 - 图文
