所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题3 导数及其应用 第20
练 导数中的易错题练习 理
训练目标 (1)导数知识的细化、深化、巩固提高；(2)解题过程的细节训练． 训练题型 导数的易错题． 解题策略 (1)注意f′(x0)＝0是x＝x0为极值点的必要不充分条件；(2)已知单调性求参数范围要注意验证f′(x)＝0的情况. 1．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y＝f(x)上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．
2．(2017·福建福州三中月考)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax的图象上，则过点A的曲线C：
3
y＝f(x)的切线方程是____________________．
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)＜0的解集为__________________．
4．(2016·兰州诊断)在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy＝1(x＞0)上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则以下结论正确的是________． ①△OAB的面积为定值2； ②△OAB的面积有最小值3； ③△OAB的面积有最大值4； ④△OAB的面积的取值范围是[3,4]．
5．若函数f(x)＝2x－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
6．若函数y＝x－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________． 7．已知函数f(x)＝x＋ax＋x＋2(a＞0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数
3
2
3
2
a的取值范围是________．
8．(2016·江苏南京、盐城第二次模拟)若存在两个正实数x，y，使得等式x＋a(y－2ex)(ln
y－ln x)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为________．
1131
9．已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图象在A(x0，f(x0))点处的切线斜率为，则
2442π??tan?x0＋?的值为__________．
4??
10．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是____________________．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
1
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
11．(2016·景德镇第二次质检)已知f(x)＝ax＋＋∞)上恒成立，则a的取值范围是________．
a－2
＋2－2a(a＞0)，若f(x)≥2ln x在[1，xππππf12．函数f(x)＝ax－cos x，x∈[，]，若?x1，x2∈[，]，x1≠x2，4343＜0，则实数a的取值范围是________．
13．若函数f(x)＝ax＋x恰有3个单调区间，则a的取值范围为________．
3
x2－fx1
x2－x1
e
14．已知函数f(x)＝2(a＞0)，若f(x)为R上的单调函数，则实数a的取值范围是
1＋ax________．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
2
x所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
答案精析
ππ1
1．[，) 2.6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0 3.(－∞，0)∪(，2) 4.①
32235．[1，)
2
解析 ∵f(x)＝2x－ln x(x＞0)， 14x－1
∴f′(x)＝4x－＝(x＞0)，
22
xx1由f′(x)＝0，得x＝，
21
当x∈(0，)时，f′(x)＜0；
21
当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，
21??k－1＜＜k＋1，2根据题意，?
??k－1≥0，3
解得1≤k＜.
26．(1,4)
解析 y′＝3x－3a，当a≤0时，y′≥0，函数y＝x－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a＞0时，y′＝3x－3a＝0?x＝±a，不难分析，当1＜a＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x－3ax＋a在(1,2)内有极小值． 7．(3，2)
解析 由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x＋2ax＋
2
3
2
2
3
??－1＜－62a＜1，
1，所以根据导函数图象可得?
f′－1＝3－2a＋1＞0，??f′1＝3＋2a＋1＞0，
解得3＜a＜2.
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
Δ＝2a2
－4×3×1＞0，
又a＞0，
3
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
1
8．(－∞，0)∪[，＋∞)
e
1yy解析 由题意得当a＝0时，x＝0，所以a≠0，所以原方程可化为－＝(－2e)ln ＝(t－
axx2e)ln t(t＝＞0)，令m(t)＝(t－2e)ln t，t＞0，则m′(t)＝ln t＋＞0，所以当t＞e时，
yxt－2e12e
，m″(t)＝＋2tttm′(t)＞m′(e)＝0；当0＜t＜e时，
m′(t)＜m′(e)＝0.因此m(t)≥m(e)＝－e，从而－≥－e.所以a＜0或a≥，即a∈(－∞，
ae
1
0)∪[，＋∞)．
e9．2＋3
113
解析 ∵f′(x)＝－cos x＋sin x
2441?π?1
＝sin?x－?＋，
6?22?
π?1?又f′(x0)＝，故sin?x0－?＝0，
6?2?π
∴x0＝kπ＋，k∈Z，
6π3
∴tan x0＝tan ＝，
63π?tan x0＋1?∴tan?x0＋?＝ 4?1－tan x0?1＋＝33
1
1
31－
3
＝2＋3.
11
10．(－∞，2－)∪(2－，2)
ee1
解析 f′(x)＝＋a(x＞0)．
x1
∵函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴方程＋a＝2在区间(0，＋∞)
x1
上有解，即a＝2－在区间(0，＋∞)上有解，∴a＜2.若直线2x－y＝0与曲线f(x)＝ln xx＋ax相切，设切点为(x0,2x0)， 1??＋a＝2，则?x0
??2x0＝ln x0＋ax0，
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执
1
解得x0＝e，a＝2－.
e
11
综上，实数a的取值范围是(－∞，2－)∪(2－，2)．
ee11．[1，＋∞)
解析 f(x)≥2ln x在[1，＋∞)上恒成立，即f(x)－2ln x≥0在[1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝f(x)－2ln x＝ax＋
a－2a－22＋2－2a－2ln x，则g′(x)＝a－2－＝xxxx－1
ax＋a－2
.
x2
aaa2－a2－a2－a令g′(x)＝0，则x＝1或x＝.由于g(1)＝0，a＞0，因此≤1(否则是g(x)的极2－a小值点，即g()＜g(1)＝0)，所以a≥1.
a12．(－∞，－解析 由
3
] 2
fx2－fx1ππ
＜0知，函数f(x)在[，]上是减函数．又f′(x)＝a＋sin x，
x2－x143
π πππππ
所以f′(x)≤0在[，]上恒成立，即a≤－sin x在[，]上恒成立．当≤x≤时，
434343－
323
≤－sin x≤－，故－sin x的最小值为－， 222
3
. 2
所以a≤－
13．(－∞，0)
解析 由f(x)＝ax＋x，得f′(x)＝3ax＋1.若a≥0，则f′(x)＞0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不满足题意；若a＜0，由f′(x)＞0得－ 由f′(x)＜0，得x＜－
1
－，3a14．(0,1] e
解析 f′(x)＝
x3
2
1
－＜x＜3a1－，3a1
－或x＞ 3a1
－.故当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(－ 3a1
－)，( 3a1
－，＋∞)，满足题意． 3a1
－)，单调递减区间为(－∞，－ 3a1＋ax－2axee
＝22
1＋ax2xx1＋ax－2ax，由题意f(x)为R上的单调函数，22
1＋ax2
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0在R上恒成立．又a＞0，所以f′(x)≥0在R上恒成立，即
ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 5
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