函数的图像
【学习目标】1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．
【知识梳理】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线，首先：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换作函数图象 (1)平移变换
(2)对称变换
(3)伸缩变换
①y＝Af(x)(A>0)的图象，可将 y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到；
1② y＝f(ax)(a>0)的图象，可将 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得
a到．
问题探究1：函数y＝f(2x－1)的图象与y＝f(2x)的图象有何关系？
1
提示：函数y＝f(2x－1)的图象是由函数y＝f(2x)的图象向右平移个单位得到的．
23．函数图象的应用
(1)函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
(2)对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
问题探究2：(1)若函数f(x)对任意x∈R都有：f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象是否具有对称性？其对称轴(中心)是什么？
(2)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象又具有怎样的对称关系呢？
a＋b
提示：(1)若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于x＝成轴对称图形．
21
(2)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝(b－a)对称．
2
基础自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．( )
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( ) (4)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．( ) (5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．(2016·合肥抽测)若lg a＋lg b＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象( ) A．关于直线y＝x对称 C．关于y轴对称
B．关于x轴对称
D．关于原点对称
1－【解析】 由lg a＋lg b＝0，得b＝，所以g(x)＝ax，所以函数f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．故选
aC.
【答案】 C
3．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
【解析】 函数f(x)＝ln(x2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数且f(0)＝ln 1＝0，综上选A.
【答案】 A
?2，x>m，?
4．已知函数f(x)＝?2的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是
?x＋4x＋2，x≤m?
( )
A．(－∞，－1] C．[－1，2]
B．[－1，2) D．[2，＋∞)
5．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
??x2－x＋a，x≥0，
【解析】 y＝?
?x2＋x＋a，x<0，?
作出图象，如图所示．
115
此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－<1 【答案】 1 画函数图象的一般方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出． (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． (3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 作函数的图象要规范，特别是与图象有关的特殊点和特殊线，应足够重视． 【例一】 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|; (2)y＝2x2； ＋ (3)y＝x2－2|x|－1; (4)y＝ x＋2 . x－1 ＝ x＋2 的图象，如图④. x－1 【名师点睛】 (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y1 ＝x＋的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助 x我们简化作图过程． 针对训练 作出下列函数的图象： 1?2x－1 (1)y＝?；(2)y＝；(3)y＝|log2x－1|. ?2?x－1 |x| 1??1?图象中x≥0的部分，加上y＝?1?的图象中x>0部分【解析】 (1)作出y＝?的图象，保留y＝?2??2??2?1?关于y轴的对称部分，即得y＝??2?的图象，如图(1)实线部分． |x|x x x (2)由y＝ 2x－1111 得y＝＋2.作出y＝的图象，将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单 xxx－1x－1
函数的综合运用：第1讲 函数的图像
