第42讲 空间向量及其运算和空间位置关系（考点精讲）
思维导图
知识梳理 1．空间向量及其有关概念
概念 共线向量(平行表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 向量) 共面向量 共线向量定理 共面向量定理 数对(x，y)，使p＝xa＋yb 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 空间向量基本定理及推论 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存―→―→―→―→在唯一的三个有序实数x，y，z，使 OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋y＋z＝1
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.
(2)空间向量的坐标运算：
平行于同一个平面的向量 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实语言描述 第 1 页 / 共 8 页
向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角公式
3．直线的方向向量与平面的法向量
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3b1＋b2＋b3 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 4．空间位置关系的向量表示
位置关系 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 直线l的方向向量为n，平面αl⊥α 的法向量为m 平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β α⊥β n∥m?n＝km(k∈R) n⊥m?n·m＝0 n∥m?n＝km(k∈R) l1⊥l2 l∥α n1⊥n2?n1·n2＝0 n⊥m?n·m＝0 l1∥l2 向量表示 n1∥n2?n1＝kn2(k∈R) 第 2 页 / 共 8 页
题型归纳 题型1 空间向量的线性运算
【例1-1】（2019秋?龙岩期末）如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB?a，AD?b，AA1?c，1M是D1D的中点，点N是AC1上的点，且AN?AC1，用a,b,c表示向量MN的结果是( )
3
1A．a?b?c
2114B．a?b?c
555131C．a?b?c
5105121D．a?b?c
33611b?AB，AA?，
22【例1-2】（2019秋?湘西州期末）如图已知正方体ABCD?A?B?C?D?中，E是CC?的中点，a?1c?AD，AE?xa?yb?zc，则( )
3
A．x?1，y?2，z?3 C．x?1，y?2，z?2
B．x?D．x?1，y?1，z?1 213，y?1，z? 22【跟踪训练1-1】（2019秋?咸阳期末）已知空间四边形OABC中，OA?a,OB?b,OC?c，点M在线段OA上，且OM?3MA，点N为BC的中点，则MN?( ) 121A．a?b?c
232321B．a?b?c
432111C．a?b?c
222311D．?a?b?c
422【跟踪训练1-2】（2019秋?濮阳期末）如图，M是三棱锥P?ABC的底面?ABC的重心，若
PM?xAP?yAB?zAC(x、y、x?R)，则x?y?z的值为( )
第 3 页 / 共 8 页
第42讲 空间向量及其运算和空间位置关系(考点精讲)(学生版)
