新课标高中数学三基训练手册
当x?0时h''(x)?0?y?h'(x)单调递减;当x?0时h''(x)?0?y?h'(x)单调递增?y?h'(x)?h'(0)?0,所以y?h(x)在R上单调递增，最多有一个零点x?0
所以，曲线y=f(x)与曲线y?12x?x?1只有唯一公共点(0,1).(证毕） 225.已知函数f(x)?ex,x?R.
(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数. 【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数g(x)?lnx. 设直线y＝kx＋1与g(x)?lnx相切与点
?kx0?1?lnx0??22?2P(x0，y0)，则?1?x0?e,k?e 。所以k?e
?k?g'(x0)?x0?(Ⅱ) 当 x > 0，m > 0 时， 曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 的公共点个数即方程f(x)?mx 根的个数。
2exexxex(x?2)由f(x)?mx?m?2,令h(x)?2?h'(x)?， 2xxx2则 h(x)在(0,2)上单调递减，这时h(x)?(h(2),??);
e2h(x)在(2,??)上单调递增,这时h(x)?(h(2),??).h(2)?. h(2)是y?h(x)的极小值即最小值。
4所以对曲线y＝f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数，讨论如下：
e2e2e2（，??）当m ?(0,)时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m ?有2个公共点；
44426.已知f(x)?xlnx,g(x)??x?ax?3.
2（1）求函数f(x)在[e,e]上的最小值；
2（2）对一切x?(0,??),2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； 解：（1）f?(x)?lnx?1
当x?(0,),f?(x)?0,f(x)单调递减，当x?(,??),f?(x)?0,f(x)单调递增
1e1e1?e, 所以函数f(x)在[e,e2]上单调递增，?f?x?min?elne?e e32（2）2xlnx??x?ax?3，则a?2lnx?x?，
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设h(x)?2lnx?x?(x?3)(x?1)3， (x?0)，则h?(x)?x2x① x?(0,1),h?(x)?0,h(x)单调递减， ② x?(1,??),h?(x)?0,h(x)单调递增，
所以h(x)min?h(1)?4，对一切x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立，所以a?h(x)min?4；
3227.已知函数f(x)?ax?bx?3x在x??1处取得极值. 31)求函数f(x)的解析式;( f(x)?x?3x)
2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)?f(x2)|?4;(|fmax(x)?fmin(x)|?4) 3)若过点A(1,m)(m??2)可作曲线y?f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.(-3,-2)
28. 设函数
f(x)?lnx?m,m?R. x（1）当m?e（e为自然对数的底数）时，求f(x)的最小值；(2)
232（2）讨论函数g(x)?f'(x)?x零点的个数；(m?23时无零点；m?3或m?0有一个零点；0?m?3时两个零点)
（3）若对任意b?a?0,f(b)?f(a)?1恒成立，求m的取值范围.（[14,??)）
b?a29. 设函数f(x)?ln(1?x),g(x)?xf'(x),x?0，其中
f'(x)是f(x)的导函数.
ng(x)?g(x),gn?1(x)?g(gn(x)),n?N?，求gn(x)的表达式；(g（1）1（2）若（3）设
(x)?x1?nx)
f(x)?ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(a?1) n?N?，比较g(1)?g(2)??g(n)与n?f(n)的大小，并加以证明.
111??......??ln(n?1)n?1证：已知不等式等价于23
由2）中取a?1，可得令x?ln(x?1)?x,(x?0)x?1
1n?1,n?N?ln?nn，则
1n?1
ln2?ln1?又
11ln(n?1)?lnn?2… n?1
ln(n?1)?11??23?1n?1
上述各式相加可得：
30．已知函数f(x)＝lnx－mx＋m，m?R. （1)已知函数f(x)在点（l ，f（1））处与x轴相切，求实数m的值； （2）求函数f(x)的单调区间；
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高三二轮理科数学专题复习资料(有答案)
