函数的单调性、周期性、奇偶性问题
典型例题：
例1. （2012年天津市文5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为【 】
（A）y?cos2x，x?R （B）y?log2x，x?R且x≠0
ex?e?x，x?R （D）y?x3+1，x?R （C）y?2【答案】B。
【考点】函数奇偶性的判断，函数单调性的判断。
【分析】利用函数奇偶性的定义可排除C，D，再由“在区间（1，2）内是增函数”可排除A，从而可得答案：
对于A，令y=f?x?=cos2x，则f??x?=cos2??x?=cos2x=f?x?，∴函数为偶函
数。
?上单调递减，在?，??上单调递增，而y?cos2x在?0，（1，2）中2???2???????1，?，?， ????22????所以y?cos2x在区间（1，2）内不全是增函数，故排除A。
对于B，函数y?log2x为偶函数，且当x?0时，函数y?log2x?log2x为增
函数，所以在(1,2)上也为增函数，故B满足题意。
??????ex?e?x，x?R ，则f??x?=?f?x?，∴函数为偶函数为对于C，令y=f?x??2奇函数，故可排除C。
对于D，为非奇非偶函数，可排除D。 故选B。
例2. （2012年广东省理5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是【 】
1?1?A．y?ln(x?2) B．y??x?1 C．y=?? D．y?x?
x?2?
1
x【答案】A。
【考点】函数的图象和性质。
【解析】利用对数函数的图象和性质可判断A正确；利用幂函数的图象和性质可判断B错误；利用指数函数的图象和性质可判断C正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断D的单调性：
A.y?ln(x?2)在（-2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A正确； B.y??x?1在[-1，+∞）上为减函数，排除B；
xC. y=??1??2??在R上为减函数；排除C；
D.y?x?1x在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D。 故选 A。
例3. （2012年广东省文5分）下列函数为偶函数的是【 】
A．y?sinx B．y?x3 C．y?ex D．y?lnx2?1 【答案】D。
【考点】函数偶函数的判断。
【解析】函数结合选项，逐项检验是否满足f（?x）?f（x），即可判断： A：y?sinx，则有（f?x）?sin??x???sinx=?f（x），为奇函数；
B：y?x3，则有f（?x）???x?3??x3=?f（x），为奇函数； C：y?ex，则有（f?x）?e?x??f（x），为非奇非偶函数；
D：y?lnx2?1，则有（f?x）?ln??x?2?1?lnx2?1=f（x），为偶函数。故选D。
例4. （2012年浙江省理5分）设a?0，b?0【 】
A．若2a?2a?2b?3b，则a?b B．若2a?2a?2b?3b，则a?b C．若2a?2a?2b?3b，则a?b D．若2a?2a?2b?3b，则a?b 【答案】A。
【考点】函数的单调性，导数的应用。
2
【解析】对选项A，若2a?2a?2b?3b，必有2a?2a?2b?2b。
构造函数：f?x??2x?2x，则f??x??2x?ln2?2?0恒成立，故有函数f?x??2x?2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立。
其余选项用同样方法排除。故选A。
例5. （2012年湖南省文5分）设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2?的偶函数，
f?(x)是f(x)的导函数，当x??0,??时，0＜f(x)＜1；当x??0,?? 且x??2时 ，
(x?)f?(x)?0，则函数y?f?x??sinx在[-2?，2?] 上的零点个数为【 】 2A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ。
【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。 【解析】由当x??0,?? 且x≠
???时 ，(x?)f?(x)?0，知
22??????x??0,?时,f?(x)?0,f(x)为减函数；x??，??时,f?(x)?0,f(x)为增函
?2??2?数。
又x??0,??时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2?的偶函数，
在同一坐标系中作出y?sinx和y?f(x)草图像如下，由图知y?f?x??sinx在[-2?，2?] 上的零点个数为4个。
?1,x为有理数例6. （2012年福建省理5分）设函数D(x)=?，则下列结论错误的是【 】
0,x为无理数?A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数 C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
3
高考数学 高频考点归类分析 函数的单调性、周期性、奇偶性(真题为例)
