实用标准文案
［思路］
此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命题原则.
［破解］:函数y?c在R上单调递减?0?c?1，不等式x?|x?2c|?1的解集为R?函数
xx?2c，?2x?2c，∴函数y?x?|x?2c|在R上的最y?x?|x?2c|在R上恒大于1，∵x?|x?2c|???2c，x?2c，小值为2c，∴不等式x?|x?2c|?1的解集为R?2c?1，即c?1，若P正确，且Q不正确，则20?c?1；若Q正确，且P不正确，则c?1； 21所以c的取值范围为(0，]?[1，??).
2［收获］
“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本特征，在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.
（2）解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现，此类题主要以一元二次不等式，分式不等式，含绝对值不等式为主，在解答题中含字母参数的不等式较多，需要对字母进行分类讨论． 例3：解关于x的不等式kx?6x?k?8?0。
2分析 本例涉及了两个讨论点：二次项系数和判别式的符号． 解 ??36?4k(k?8)??4(k?9)(k?1)
(1)当k?0时：若k≥9，则?≤0，不等式解集为?；若0?k?9，则??0，解集为
?k?1)??3??3?(9?k)(x?x??k??(9?kk)(?k?1)??. ???(2)当k?0时：不等式为6x?8?0，解集为?xx??(3)当k?0时：若?1?k?0，则??0，解集为
4??． 3???3?(9?k)(k?1)?3?(9?k)(k?1)???xx?或x???.
kk????若k??1，不等式为?x2?6x?9?0，解集为x?R且x?3.
若k??1，则??0，解集为R．
点拨 由于分类的原因有两个，为了避免逻辑混乱，本例采取了“二级分类”方法：第一级以二次项系数的符号作为划分的依据；第二级依判别式的符号进行划分．
例4：若不等式|x－4|+|3－x| 文档 实用标准文案 ［思路］ 此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。 ［破解］ 解法一 (1)当a≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当a>0时，先求不等式|x－4|+|3－x| ① 当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3 解不等式组??x?47?a，∴a>1 ?4?x?2x?7?a2?② 当3 ③ 当x≤3时，原不等式化为4－x+3－x 22?7?2x?a综合①②③可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0 由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1 解法二：由|x－4|+|3－x|的最小值为1得当a>1时，|x－4|+|3－x| 1）一题有多法，破解时需学会寻找最优解法。 2）f?x??a有解?a?f?x?min；f?x??a解集为空集?a?f?x?min；这两者互补。f?x??a恒成立?a?f?x?max。f?x??a有解?a?f?x?min；f?x??a解集为空集?a?f?x?min；这两者互补。f?x??a恒成立?a?f?x?max。f?x??a有解?a?f?x?max；f?x??a解集为空集 ?a?f?x?max；这两者互补。f?x??a恒成立?a?f?x?min。f?x??a有解?a?f?x?max；f?x??a解集为空集?a?f?x?max；这两者互补。f?x??a恒成立?a?f?x?min。 （3）证明不等式一般同函数知识相结合，综合性较强，灵活性较大，具有较好的区分度． 例5：若二次函数y?f?x?的图象经过原点，且1?f??1??2，3?f?1??4，求f??2?的范围． ［思路］要求f??2?的取值范围，只需找到含f??2?的不等式(组)．由于y?f?x?是二次函数，所以应先将y?f?x?的表达形式写出来．即可求得f??2?的表达式，然后依题设条件列出含有f??2?的不等式(组)，即可求解． 文档 实用标准文案 ［破解］因为y?f??x的图象经过原点，所以可设y?f?x??ax2?bx．于是 ?1?f??1??2?1?a?b?2????1??3?f1?43?a?b?4????? 解 法 一 ( 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 ) 不 等 式 组 (1) 变 形 得 ?b?24?2?a2?6?a4?b?2?1?f0???4?a2?6?6??其中等号分别在210??a?2?a?3与?时成立，且 ?b?1?b?1?a?2?a?3与?也满足（1）所以f??2?的取值范围是?6,10?． ??b?1?b?1解法二(数形结合)建立直角坐标系aob，作出不等式组(1)所表示的区域，如图中的阴影部分．因为f??2??4a?2b，所以4a?2b?f??2??0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a?2b?f??2??0过点A?2,1?，B?3,1?时，分别取得f??2?的最小值6，最大值10．即f??2?的取值范围是：?6,10?． 1?a??f?1??f??1?????b???f?1??a2?解法三(利用方程的思想)因为?所以?又 ?b??f??1??a?b?1?f?1??f??1?????2?f??2??4a?2b?3f??1??f?1?，而 1?f??1??2，3?f?1??4， ① 所以 3?3f??1??6． ② ①+②得6?3f??1??f?1??10即6?f??2??10。 ［收获］ 1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得 ?2?a?3?4?2a?6???1?3，而f??2??4a?2b，8?4a?12,?3??2b??1,所以5?f??2??11 ?b??1?2b?3??222)对这类问题的求解关键一步是，找到f??2?的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若 长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高． 3）本题灵活地考查了同向不等式的可加性，但要注意f??2?的数学结构。 3、 我们的收获 文档 实用标准文案 通过这次的研究性学习，我们懂得了很多有关不等式的知识，并得出以下心得。 (1)重视数学思想方法的复习 从命题趋向来看，我们应该加强对数学思想方法的复习． ①在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度，由于解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等价转化可以简化不等式（组），以快速、准确求解． ②加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含有参数等问题，这时可能要对参数进行分类讨论．其中在讨论的过程中，要明白引起讨论的原因，同时要合理分类，要做到不重不漏． ③加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系，互相转化，如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法． ④在不等式的证明中，要加强化归思想的复习，证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，这既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，所以在复习中应特别加以关注． （2）强化不等式的应用 由于不等式单独命题较少，常在函数、数列、立几、解几和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合问题能力的关键，因此，在复习时应加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力，如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，在求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误，同时还要注意实际情况的限制． 4、 展望 未来的学习和生活中我们会继续与不等式打交道，不等式的美我们在日后也能继续欣赏。希望会有等多的人重视不等式，也希望不等式领域能继续扩大。 文档
不等式常见考试题型总结材料
