概率论与数理统计教学教案
第七章 参数估计
授课序号01
教 学 基 本 指 标 教学课题 第七章 第一节 点估计 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 总体分布参数的点估计方法介绍 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 大纲要求 课的类型 新知识课 教学手段 黑板多媒体结合 教学难点 极大似然估计的求解 作业布置 课后习题 理解点估计的概念 熟练掌握求点估计的两种方法：矩估计法（一阶、二阶）和极大似然估计 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、矩估计 1nk用样本矩替换总体矩.设总体X的k阶原点矩?k?E?X?，样本的k阶原点矩为：Ak??Xj，nj?1kk?1,,n. 如果未知参数?=?(?1,?=?(A,,?m)，则?的矩估计量?1,Am). 2、极大似然估计 设总体X有分布律P(X?x;?)或密度函数f?x;??（其中?为一个未知参数或几个未知参数组成的向量），已知???，?是参数空间.(x1,x2,,xn)为取自总体X的一个样本?X1,X2,?,Xn?的观测值，将样本的联合分布律或联合密度函数看成?的函数，用L(?)表示，又称为?的似然函数，则似然函数 L?????P(Xi?xi;?)，或L?????f?xi;?? i?1i?1nn??maxL???的解??为?的极大似然估计量. 称满足关系式L?????? 1
二、定理与性质 1、设一个总体X的均值E(X)??，方差D(X)??2都未知，(X1,X2,?,Xn)为取自该总体的一个样本，2则X是?的矩估计量，Sn是?2的矩估计量，Sn是?的矩估计量. 三、主要例题： 例1 设?X1,,Xn?是取自总体X的一个样本.在下列两种情形下，试求总体参数的矩估计量. (1) 总体X~B?1,p?,其中p未知,0?p?1; (2) 总体X~E???, 其中?未知,??0. 例2 设总体X服从P(?)，其中??0未知，?X1,(1) ?的矩估计量；(2)求P(X?0)的矩估计. 2例3 设总体X服从正态分布N?,?， ?X1,,Xn?是取自总体X的一个样本，求 ??,Xn?是取自总体X的一个样本，在下列几种情况下， (1) ?已知，?未知，求?的矩估计； (2) ?已知，?未知，求?2的矩估计； (3) ?,?都未知，分别求?,?的矩估计. 2?e?(x??),x??例4 设总体X的密度函数为f(x,?)??,其中?未知, (X1,X2,?,Xn)为取自该总体的一个样其它0?本，求?的矩估计量. 例5 设一箱子中装有黑和白两种颜色的球，其中一种颜色的球有99个，另一种颜色的球只有1个.但是不知道那个颜色的球是只有1个.我们随机地从这个箱子里有放回地取2个球，结果取得的都是白球，问这个箱子中那个颜色的球只有1个？ ??2xe??x,x?0例7 设总体X的密度函数为f(x)??,其中?(??0)未知, （X1,?0,其他个样本.求?的极大似然估计量. 是来自总体X的一,Xn）2例8 设总体X服从正态分布N?,?，其中?,?未知，?X1,X2,?,Xn?是取自该总体的一个样本，求 (1) ???,?2的极大似然估计量; (2) ??P?X?2?的极大似然估计量． 例9 设总体X服从区间?0,??的均匀分布，其中??0未知，?X1,极大似然估计量． ,Xn?是取自总体X的一个样本，求?的?2e?2(x??)x??例10 设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;?)??,其中??0为未知参数.又设x???0 2
(x1,x2,,xn)是取自总体X的一组样本?X1,,Xn?的观测值,求参数?的极大似然估计量. 授课序号02
教 学 基 本 指 标 教学课题 第七章 第二节 点估计的优良性评判标准 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 无偏性、有效性和相合性的评判方法 教学难点 无偏性、有效性的判别 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 大纲要求 掌握评价点估计的无偏性、有效性和相合性 作业布置 课后习题 教 学 基 本 内 容 一、基本概念： 1、无偏性 ?????X,设?1,Xn?是?的一个估计量，?的参数空间为?，若对任意的???，有 ??X,E?[?1,Xn?]??， ?????X,则称?12、有效性 ,Xn?是?的一个无偏估计，否则称为有偏估计。 ?,??是?的两个无偏估计，若对任意的???，有D???D??，且至少有一个???使得上述不设?1212?比??有效。 等式严格成立，则称?123、相合性 ?????????X,设?1,Xn?是?的一个估计量，若对???0， ??????0 limP?n???????，或称??是?的一个相合(一致)估计量. ?具有相合性(一致性)，即?则称估计量?二、定理与性质：
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P1、设总体X的均值?、方差?2?0均未知，(X1,X2,?,Xn)为取自该总体的一组样本，则样本均值X是?2的无偏估计量，样本方差S2是?2的无偏估计量，Sn不是?2的无偏估计量，Sn与S都不是?的无偏估计量. ?)?0，则??是?的一个相合估计量. 2、若??是?的一个无偏估计，且limD(?n??三、主要例题： 例1 设?X1,总体X服从区间?0,??的均匀分布，其中??0未知，讨论?的,Xn?是取自总体X的一个样本，矩估计量和极大似然估计量的无偏性． 例2 设?X1,212总体X服从正态分布N??,??，已求得： 当?已知时，?2,Xn?是取自总体X的一个样本，1n21n21n22222???Xi??；当?未知，?的矩估计量??2??Xi?(X)=?(Xi?X)2?Sn的矩估计量?。 ni?1ni?1ni?1讨论这两个估计量的无偏性。 例3（例1续）设?X1,,Xn?是取自总体X的一个样本，总体X服从区间?0,??的均匀分布，其中??0未知，????=2X是?的无偏估计，?的矩估计量?修正后的极大似然估计量?21n?1??与X(n)也是?的无偏估计，讨论?2n??1的有效性。 例4 设?X1,,Xn?是取自总体X~??0,?2?1n2???Xi，?2是?2的一个样本，其中??0未知，令?试证?ni?122的相合估计量。
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教 学 基 本 指 标 教学课题 第七章 第三节 区间估计 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学重点 区间估计的概念及置信区间的介绍 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 课的类型 新知识课 教学手段 黑板多媒体结合 教学难点 置信水平的理解和置信区间的推导 作业布置 课后习题 大纲要求 理解参数区间估计的概念和置信水平、置信区间的概念及其意义 教 学 基 本 内 容
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一、基本概念： 1、设?X1,,Xn?是取自总体X的一个样本，总体X~f(x,?)，???未知，对于?0???1，若统计量????X1,?,Xn????X1,?,Xn???，使得 P???????1??,???， ??则称[?,?]为?的双侧1??置信区间，?,?分别称为?的双侧置信下限和置信上限，1??为置信水平，一旦样本有观测值x1,?,xn，则称相应的[??x1,?,xn?,??x1,?,xn?]为置信区间的观测值． 2、若有统计量????X1,?,Xn?，使得 P?????1??,??? 则称(??,??X1,?,Xn?]为?的单侧1??置信区间，??X1,?,Xn?为?的单侧1??置信上限． 3、若有统计量????X1,?,Xn?，使得 ??P?????1??,??? ??则称[??X1,?,Xn?,??)为?的单侧1??置信区间，??X1,?,Xn?为?的单侧1??置信下限． 授课序号04
教 学 基 本 指 标 教学课题 第七章第四节单正态总体下未知参数的置信区间 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 单正态总体均值及方差的双侧置信区间求解 教学难点 单正态总体均值及方差的的枢轴变量分布推导 参考教材 高教版、浙大版《概率论与梳理统计》 大纲要求 掌握单正态总体参数的置信区间的求法及结论 熟练地运用以上方法求各种置信区间 作业布置 课后习题 5
概率论与数理统计教案第七章
