2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的. 1＋z
1．设复数z满足＝i，则|z|＝
1－z
A．1 B．2 C． 3 D．2 2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝
3311
A．－ B． C．－ D．
2222
3．设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为
A．?n?N， n2＞2n B．?n?N， n2≤2n C．?n?N， n2≤2n D．?n?N， n2＝2n
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投
篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A． B．0.432 C． D．
x22→→
5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若 MF1· MF2
2
＜0 ，则y0的取值范围是
33?33????22，22? D．?－23，23?
A．－， B．－， C．－
3?6?3?3??3?6?3?3
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
→→
7．设D为△ABC所在平面内一点BC＝3CD，则
1→4→1→4→A．AD＝－AB＋AC B．AD＝AB－AC 3333
4→1→4→1→C．AD＝AB＋AC D．AD＝AB－AC 3333
8．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为
?kπ－1，kπ＋3?A． (k∈Z)
44??
13
B．?2kπ－，2kπ＋? (k∈Z)
44??
1313
C．?k－，k＋? (k∈Z) D．?2k－，2k＋? (k∈Z)
4?44??4?
9．执行右面的程序框图，如果输入的t＝，则输出的n＝
A．5 B．6 C．7 D．8
→→
→→
2r r 正视图 r 2r
2510．(x＋x＋y)的展开式中，x5y2的系数为
A．10 B．20 C．30 D．60 俯视图(第11题图)
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图
如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝
A．1 B．2 C．4 D．8
12．设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，则a的取值范围是
33333
B. ?－，? C. ?，? D. ?，1?
?2e4??2e4??2e?
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~
第(24)题未选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
13．若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝＿＿＿＿＿＿.
x2y2
14．一个圆经过椭圆 ＋＝1 的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .
164
??x－1≥0 (1)y
15．若x，y满足约束条件?x－y≤0 (2)， 则 的最大值为 .
x
??x＋y－4≤0 (3)
16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)
Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an＋2an＝4Sn＋4．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
1
(Ⅱ)设bn＝ ，求数列{bn}的前n项和．
anan＋1
18．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，
DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC； E (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值． Fy (单位：t)19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. A D 年销售量/T C B 620 600 580 2
· · ·· · 1 1469 1
表中w1 ＝x1， ，－＝w 8
?w
1
x＋1
(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：
(ⅰ)年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)，……，(un vn)，其回归线v＝???u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
n
u)(vi－－v)?(ui－－
?(ui－－u)2
i＝1
β＝
i＝1
n
α＝－v－β－u
20．(本小题满分12分)
x2
在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a (a＞0)交于M，N两点，
4
(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由. 21．(本小题满分12分)
1
已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－lnx．
4
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x) 的切线；
(Ⅱ)用min?m,n? 表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)} (x＞0)，讨论h(x)零点的个数． 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.． 22．(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 C 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． E (Ⅰ)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； D (Ⅱ)若OA＝3CE，求∠ACB的大小.?
23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
A B 在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，O x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C1，C2的极坐标方程；
π
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设C2与C3的交点为M、N ，求△C2MN的面积． 4
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0．
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
高考数学全国卷(完美版)
