第一学期期末高等数学试卷
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题，总计 1、(本小题 5 分)
80 分 )
求极限
3 x 12 x 16 lim
2
x 2 2x 12x 4 3 9x
2、 (本小题 5 分 )
求
x
2 2
dx. (1 x )
x
3、(本小题 5 分)
求极限 limarctan x arcsin
4、(本小题 5 分)
1
x
求
x d x. 1 x
5、 (本小题 5 分 )
求 dx
d
x
2
1 t 2 dt．
0
6、 (本小题 5 分 )
求 cot 6 x csc4 x d x.
7、(本小题 5 分)
2
1 1
求 1 x2 cos x dx．
8、 (本小题 5 分 )
x et cost 2 设 确定了函数 y
y e2t sin t
9、 (本小题 5 分 )
y( x), 求
dy ． dx
求 x 1
0
3
x dx．
10、 (本小题 5 分 )
求函数
y 4 2 x x2 的单调区间
11、 (本小题 5 分 )
求 2 sin x dx．
20 8 sin x
12、 (本小题 5 分 )
设 x t
(
)
e kt
(3cos
t
4 sin
t ，求 dx．
)
13、 (本小题 5 分 )
设函数 y
y 2 y x 由方程 y 2
ln ( )
x6 所确定 求 dy ．
, dx
14、 (本小题 5 分 )
求函数 y
2
ex e x 的极值
15、 (本小题 5 分 )
求极限 lim
x
( x
1)2
(2x 1)2 ( 3x 1) 2
(10x 1)(11x 1)
(10x 1)2
16、 (本小题 5 分 )
求
二、解答下列各题
(本大题共 2 小题，总计 14 分 )
cos2x d x. 1 sin xcos x
1、(本小题 7 分)
某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场 ,一边可用原来的石条围 沿,另三边需砌新石条围沿 ,问晒谷场的长和宽各为 多少时 ,才能使材料最省 .
2、(本小题 7 分)
求由曲线 y
x 2 和 y 2
x 3 所围成的平面图形绕 ox轴旋转所得的旋转体的 体积 . 8
三、解答下列各题 (本大题6
分 )
设 f (x)
x(x 1)( x 2)( x 3), 证明 f ( x) 0有且仅有三个实根 .
一学期期末高数考试 (答案 )
一、解答下列各题 (本大题共 16 小题，总计 77 分 )
1、(本小题 3 分)
解:原式
lim 3x 2 12
x 2 6x
18x 12
6x 2
lim
x2
12 x 18
2
2、(本小题 3 x
分)
d x
(1 x2 )
2
1 d(1 x2 ) 2
(1
x 2 ) 2
1
1
2 1 x2
c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 limarcsin
2
x
故 limarctan x arcsin
1
x
x
0
4、(本小题 3 分)
x 1 x
d x
1 1 x
x 1 d x d x
d x
1 x
x ln 1 x c.
5、(本小题 3 分)
原式
2 x 1 x4
6、(本小题 4 分)
cot 6 x csc4 x d x cot 6 x(1
cot 2 x) d(cot x)
1 x
0
1 cot x cot 9 x c. 7 9
7、 (本小题 4 分 )
2
71
原式
1 1
1 cos d ( )
x x
1
sin
2 1
1
8、 (本小题 4 分 )
解：
dy dx
e2t (2 sin t cost) e (cos t t2
2t sin t 2 ) et (2 sin t cost) (cost 2 2t sin t 2 )
9、 (本小题 4 分 )
令 原式
1 x
2 1
u
u2 ) du
2 (u4
5 u2(u3 ) 12 5 3 116
15
10、 (本小题 5 分 )
函数定义域 (
, )
2(1 x)
y 2 2 x 当 x 1， y 0
当 ， 函数单调增区间为
x 1 y 0 ,1 当 ， 函数的单调减区间为 x 1 y 0 1,
11、 (本小题 5 分 )
原式
2 0
d cos x 9 cosx
2
1 3 cosx 2
ln
6 3 cosx 0 1 ln 2 6
12、 (本小题 6 分 )
dx
x (t) dt
e kt
2yy
(4 2y
y
3k ) cos
t ( 4k 3 ) sin t dt
13、 (本小题 6 分 )
6x5
y
3yx5
2
y 1
，
14、 (本小题 6 分 )
定义域 ( ), 且连续 1)
2
y 2e x (e2 x
驻点： x
1 ln 1
2 2
由于 y
2ex
e x
0
故函数有极小值 ,, y( 1
ln 1 ) 2 2
15、 (本小题 8 分 ) 2 2
(1 1 ) 2 ( 2 1 )2 ( 3 1 ) 2 (10 1 ) 2 原式 lim x x x
x
x
1
(10 )(11 1)
x x 10 11 21 6 10 11
7
2
16、 (本小题 10 分)
解 :
cos2x
dx 1 sin x cos x
1
1
cos2x dx
sin 2x
d(
1
sin 2x 1)
2
2 1 1 sin 2x
2
ln 1
1
sin 2x c
2
二、解答下列各题
(本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、 (本小题 5 分 )
设晒谷场宽为 x, 则长为
512
米 ,新砌石条围沿的总长为
x L
2x
512
(x
0)
x
L
2
512 唯一驻点 x 16
x 2
L
1024 0 即 x 16 为极小值点
x 3
故晒谷场宽为 16米 , 长为
512
32米时 , 可使新砌石条围沿
16
所用材料最省
2、(本小题 8 分)
解:
x2
x 3 ,
8x
, 2
3
2x
x1
0 x1
4
.
2
8
V4 4 x
4
x
( x2 ) 2 ( x 3 ) 2 dx
0
2
0
(
x6
)dx
8
64
4
4
(
1
1 x5
1 1 x 7 ) 4 5
64 7 0
44 ( 1
1 ) 512 三、解答下列各题
5
7 35
(本 大题10分)
证明 : f (x)在 ( , ) 连续 , 可导 , 从而在 [ 0,3]; 连续 , 可导 .
又 f (0) f (1) f (2) f (3) 0
则分别在 [0,1],[ 1,2],[ 2,3] 上对 f ( x) 应用罗尔定理得 , 至少存在 1 (0,1),
2
(1,2), 3 (2,3)使 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) 0
即 f (x) 0至少有三个实根 , 又f (x) 0, 是三次方程 , 它至多有三个实根 ,
由上述 f ( x) 有且仅有三个实根
参考答案
一。填空题（每小题
3 分，本题共 15 分） 1、 e6
2、 k =1 ． 3、
x 4、 y
1 5、 f ( x)
2cos 2x
1 x
二．单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1、 D
2、 B
3、 C
4、 B 5、 A
三．计算题（本题共 56 分，每小题 7 分）
1.解： lim
4 x 2 lim x 1
lim
2x
1
x 0
sin 2x x 0
sin 2x( 4 x 2) 2 x 0 sin 2 x( 4 x 2)
8
2.解 ： lim (
1
1 ) lim ex 1 x lim ex 1
lim ex
1 x 0 x e
x
1 x 0
x(e
x
1) x 0
ex
1 xex x
0 ex ex xex
2
cos x
e t 2
dt
cos2
x
3、解：
lim 1 2
lim
sin xe 1
x 0
x 0
2x
x
2e
4、解：
1
1
1
y
(1
)
x
1 x 2
1 x2
1 x2
1
5、解：
dy 1 t 2 1
dx
2t 2t
1 t 2
d 2
y
d dy
1
2
1 t 2
dx
2 dt ( dx ) dx
dt
2t 2t 4t
3
1 t 2
6、解：
1
2 1
sin( 2 3)d ( 2
1 2
sin( 3)dx 3) cos( 2 3) C
x x
2 x 3
2 x
7、 解：
ex cos xdx cos xdex
期末高等数学(上)试题及答案.doc
