2019年4月份高三模拟试卷
数学（理科）
考生注意：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号，姓名是否一致.
2. 作答选择题.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数z满足?1?i?z??4i，则z?（ ） A. 2?2i C. 2?2i
2. 已知集合A??x|A. ??3,1? C. ??3,1?
B. 1?2i D. 1?2i
??x?3??0?，则CRA?（ ） 1?x?
B. ???,?3?U?1,??? D. ???,?3?U?1,???
3. 对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析.
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间?110,120?内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步. 其中正确的个数为（ ） A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4. 如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5. 已知f?x?是奇函数，当x?0时，f?x???A. 2x?y?1?0 C. 2x?y?1?0
x，则函数在x??1处的切线方程是（ ） x?2B. x?2y?2?0 D. x?2y?2?0
6. 如图，在矩形OABC中的曲线分别是y?sinx，y?cosx的一部分，A????在矩形OABC,0?，C?0,1?，
?2?内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则（ ）
A. P1?P2 C. P1?P2
B. P1?P2
D. 大小关系不能确定
uuuruuuruuur?AD??AB??AC7. 已知△ABC中，AB?2，AC?3，?A?60?，AD?BC于D，，则?（ ）
?A. 3 B. 6
C. 23 D. 32 x2y28. 已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?，以点P?b,0?为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的
ab
一条渐近线交于M，N两点，若?MPN?90?，则C的离心率为（ ） A. 2
B. 3 C.
5 2D.
7 29. 若m，n均为非负整数，在做m?n的加法时各位均不进位（例如：2019?100?2119，则称?m,n?为“简单的”有序对，而m?n称为有序对?m,n?的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是（ ） A. 100
B. 96
C. 60
D. 30
10. 若x1是方程xex?1的解，x2是方程xlnx?1的解，则x1x2等于（ ） A. 1
B. -1
C. e
D.
1 e11. 已知函数f?x??sin??x??????0,?????????,???的部分图象如图所示，且f?x?在?0,2??上恰有一?2??个最大值和一个最小值，则?的取值范围是（ ）
A. ??713?,? 1212??
B. ??1117?,? 1212??C. ??713?,? ?1212?x
D. ??1117?,? ?1212?12. 已知函数f?x??e?ax?1在区间??1,1?内存在极值点，且f?x??0恰好有唯一整数解，则a的取值范围是（ ）（其中e为自然对数的底数，e?2.71828???）
?e2?1?,e? A. ?2?2e?C. ?e?1,e?
?e2?1??e2?1?,1?U?e?1,B. ? ?22??2e???e2?1e?1?,D. ??U?e?1,e? 2e??2e第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
1??13. 已知二项式?ax??的展开式中的常数项为-160，则a?______.
x??6
?x?y?4?0?14. 若实数x，y满足不等式组?2x?3y?8?0，则目标函数z?3x?y的最大值为______.
?x?1?15. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥
P?ABCD为阳马，侧棱PA?底面ABCD，且PA?3，BC?AB?4，设该阳马的外接球半径为R，
内切球半径为r，则
R?______. r
16. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若c?2b，△ABC的面积为1，则a的最小值为______.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题，共60分.
S?r?17. 已知数列?an?中，a1?1，Sn是数列?an?的前n项和，且对任意的r,t?N，都有r???.
St?t?*2（Ⅰ）判断?an?是否为等差数列，并证明你的结论； （Ⅱ）若数列?bn?满足
an?2n?1?n?N*?，设Tn是数列?bn?的前n项和，证明：Tn?6. bn18. 在Rt△ABC中，?ABC?90?，tan?ACB?1.已知E，F分别是BC，AC的中点，将△CEF沿2EF折起，使C到C'的位置且二面角C'?EF?B的大小是60?.连接C'B，C'A，如图：
（Ⅰ）求证：平面C'FA?平面ABC'；
（Ⅱ）求平面AFC'与平面BEC'所成二面角的大小.
19. 已知平面上一动点P到定点F迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
?3,0的距离与它到直线x??433的距离之比为，记动点P的轨32（Ⅱ）设直线l：y?kx?m与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM?kON?积的最大值.
5，求△MON面420. 随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产一运输一销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题. （Ⅰ）在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y（百斤）与使用堆沤肥料x（千克）之间对应数据如下表： 使用堆沤肥料x（千克） 产量增加量y（百斤） 2 3 4 4 5 4 6 4 8 5 $?a$依据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$；并根据所求线性回归方程，估计y?bx如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百斤？
（Ⅱ）某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货），该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：
x,y?N*，且x?y?30）；
每日前8个小时 15 销售量（单位：份） 频数 10 16 17 16 18 16 19 15 20 13 21 x y 若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求x的取值范围.
$?附：回归方程系数公式b?xy?nxyiii?1nn?xi2?nxi?12$?y?b$?x. ，a21. 已知f?x?1??2ln?x?1??k?k?x?1?. x（Ⅰ）判断当?1?k?0时f?x?的单调性；
（Ⅱ）若x1,x2?x1?x2?为f?x?两个极值点，求证：x??f?x1??f?x2?????x?1???f?x??2?2x??. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程
??x?m?2t在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半
??y?2t轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?2?4. 21?sin?（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C上的点，PQ?l，垂足为Q，若PQ的最小值为2，求m的值. 23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数f?x??x?2a?x?a，a?R. （Ⅰ）若f?1??1，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a?0，对?x,y????,a?，都有不等式f?x??y?2020?y?a恒成立，求a的取值范围.
湖南省娄底市2019年4月份高三模拟试卷数学（理科）及参考答案
