课时跟踪检测（八） 平面向量数量积的坐标表示
A级——学考合格性考试达标练
1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( ) A．23 C．63
B．57 D．83
解析：选D 3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.故选D. 2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．任意三角形
―→―→
?1，1?·?－3，3?AB·ACπ
解析：选B cos A＝＝＝0，则A＝.故选B.
―→―→22·32|AB||AC|3．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为( ) A．(3,2) B.?C.?
3 132 13?
?13，13?
3 132 13??3 132 13?
或－ ，，－13??1313??13
D．以上都不对
解析：选C 设与a垂直的向量为单位向量(x，y)， ∵(x，y)是单位向量，
∴x2＋y2＝1，即x2＋y2＝1，① 而且(x，y)表示的向量垂直于a. ∴2x－3y＝0，②
?x＝3 1313，
由①②得?
2 13y＝?13
A．1 C．2
?x＝－3 1313，
或?
2 13y＝－.?13
故选C.
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
B.2 D．4
解析：选C 由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0.故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.所以，|a|＝
1＋n2＝1＋3＝2.故选C.
5．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为( ) 9
A．－
2
B．0
C．3
15D. 2
解析：选C ∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.故选C.
6．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
解析： 因为a＋b＝(－1，3)，所以|a＋b|＝?－1?2＋?3?2＝2. 答案：2
π
7．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝________.
43x＋2π
解析：cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．
410×x2＋4答案：1
8．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|等于________． 解析：易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝ 82＋?－8?2＝82. 答案：82 9．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值； (2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值． 解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)， 所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)． ?2a＋b?·?a－b?92
所以cos θ＝＝＝.
|2a＋b||a－b|922π
因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 4
(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0， 所以3k－3＋6k＋3＝0. 所以k＝0. 10．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)， ―→―→
(1)试求向量2AB＋AC的模；
―→―→
(2)若向量AB与AC的夹角为θ，求cos θ. 解：(1)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)， ―→
所以AB＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ―→
AC＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
―→―→
所以2AB＋AC＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．
―→―→所以|2AB＋AC|＝
?－1?2＋72＝52. ―→―→
(2)由(1)知AB＝(－1,1)，AC＝(1,5)， 所以cos θ＝
213＝.
13?－1?2＋12×12＋52
B级——面向全国卷高考高分练
1．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( ) A.2 C．52
B．2 D．50
?－1，1?·?1，5?
解析：选A ∵ a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴ |a－b|＝
?－1?2＋12＝2.故选A.
2．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( ) 10
－∞，? A.?3??
10?C.??3，＋∞?
10
－∞，? B.?3??
10?D.??3，＋∞?
10610
解析：选C x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞.
353故选C.
ππ
－，?，则|a＋b|的取值范围是( ) 3．已知向量a＝(1,0)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈??22?A．[0，2 ] C．[1,2]
B．[0,2 ] D．[2，2]
ππ
－，?，∴cos θ∈解析：选D |a＋b|＝?1＋cos θ?2＋?sin θ?2＝2＋2cos θ. ∵θ∈??22?[0,1]．∴|a＋b|∈[2，2]．故选D.
―→―→―→―→
4．已知O为坐标原点，向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) C．(3,0)
B．(2,0) D．(4,0)
―→―→―→―→解析：选C 设P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，∴AP·BP＝(x―→―→
－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP·BP最小，此时点P的坐标为(3,0)．故选C.
5．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________. 解析：∵ a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴ a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4， |a|＝
22＋22＝22，|b|＝
?－8?2＋62＝10.
－4a·b2∴ cos〈a，b〉＝＝＝－. |a||b|22×1010答案：－
2 10
6．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．
解析：法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
1―→1―→
1，?，OE＝?，1?. 则由已知条件，可得OD＝??2??2?11
―→―→1×＋×1
22OD·OE4
故cos∠DOE＝＝＝.
―→―→555|OD||OE|×22―→―→―→―→1―→
法二：∵OD＝OA＋AD＝OA＋OC，
2―→―→―→―→1―→OE＝OC＋CE＝OC＋OA，
2
―→―→
5―→5―→―→1―→21―→2OD·OE―→
∴|OD|＝，|OE|＝，OD·OE＝OA＋OC＝1，∴cos∠DOE＝
2222―→―→
| OD ||OE|4＝. 5
4答案： 5
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标； (2)若|b|＝
5
，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ. 2
解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25，∴x2＋y2＝20.
?y－2·x＝0，?1·?由c∥a和|c|＝25，可得22 ?x＋y＝20，????x＝2，?x＝－2，
解得?或?
?y＝4???y＝－4.
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0，
高中数学必修二课时跟踪检测(八) 平面向量数量积的坐标表示讲解附答案解析
