第零章 数学准备
一 泰勒展开式
1 二项式的展开
mm-1mm-1m-2 f?x???1?x?m?1?mx+??x2?????x3??
2！3！2 一般函数的展开
f?xf??xf???x f?x??f?x0???0??x-x0???0??x-x0?2??0??x-x0?3??
1！2！3!特别:x0?0时,
f??0?f???0?2f????0?3f?x??f?0??x?x?x??
1！2！3!3 二元函数的展开(x=y=0处)
???f?1??2f?2f?2f?f22x?2xy+y?? f?x，y??f?0?????0000x+0y??22??！?x?y?y?y?2??x??x? 评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线
性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。
二 常微分方程
1 一阶非齐次常微分方程： y+P?x?y=Q?x?
?P?x?dx??P?x?dxdx? c?Qxe通解：y?e????????注：??P?x?dx,?Q?x?e?P?x?dxdx积分时不带任意常数，Q?x?可为常数。
2 一个特殊二阶微分方程
???A2y?B ?y通解：y=Kcos?Ax+?0??B 2A 注：K,?0为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程
??ay??by?f?x? ?y 通解：y?y?y*；y为对应齐次方程的特解，y*为非齐次方程的一个特解。
非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程
???ay??by?0 y设y?e?x得特征方程?2?a??b?0。解出特解为?1，?2。 *若?1??2?R则y1?e?x，y2?e?x；y?c1e?x?c2e?x
1212*若?1??2?R则y1?e?x，y2?xe?x； y?e?x(c1?xc2)
111??e?xcos?x，y??e?xsin?x；*若?12????i则y12y?e?x(c1cos?x?c2sin?x)
（2） 若f?x??a0x2?b0x?c0为二次多项式
*b?0时，可设y*?Ax2?Bx?C *b?0时，可设y*?Ax3?Bx2?Cx?D
注：以上c1,c2,A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。
三 矢量
1 矢量的标积
A?B=B?A=ABcos?=AxBx+AyBy+AzBz
????注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积
??i?????? A?B=-(B?A)=ABsin?en=?Ax?B?x?jAyBy?k??Az? Bz?? ?(AxBy?AzBy)i?(AzBx?AxBz)j?(AxBy?AyBx)k
???四 矩阵
此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。
?a11x1?a12x2?a13x3?0? ?a21x1?a22x2?a23x3?0 ?ax?ax?ax?0?311322333?a11a12令D???a21a22?a?31a32a13??a23? a33??*D=0时，方程组有非零解 *D?0时，方程只有零解
第一章 牛顿力学的基本定律
万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。 【要点分析与总结】 1 质点运动的描述
（1） 直线坐标系
????r?xi?yj?zk??????????zk???r?xi?yj ??????????a??r???xi???yj???zk（2） 平面极坐标系
??r?rer????e?r?r???re ?????2)e???2r?)e???r??a?(r?(r??r?（3） 自然坐标系
???et?? ??v2? ?et?ena???（4） 柱坐标系
??v2??et?ena???e?ze?e?????z?????????
????????????〈析〉 上述矢量顺序分别为：i,j,k;er,e?,ek;et,en,eb;e?,e?,ez.
??der????e??ek?er???dt?de??????e矢量微分：??ek?e????r dt?dek?????ek?ek?0dt（其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序
2 牛顿定律
惯性定律的矢量表述
??d2r? ma?m2?F
dt（1） 直角坐标系中
???Fx?mx??? ?Fy?my????Fz?mz（2） 极挫标系中
?2)?Fr?m(r???r?????2r?) ???F??m(r??F?0?k（3） 自然坐标系中
??F??m???2? ?Fn?m
????Fb?03 质点运动的基本定理 几个量的定义：
??动量 P?m? ?????角动量 L?r?m??r?P
??? 冲量 I?P2?P1
??? 力矩 M?r?F
???t2?冲量矩 H?I2?I1??Mdt
t1动能 T?m?2
??dP（1） 动量定理 F?
dt12??dP???F?e???0 ??方向上动量守恒：?e edt??dL（2） 动量矩定理 M?
dt
陈世民理论力学简明教程（第二版）课后答案
