数学选择题解题技巧
第1讲 选择题
题型一 直接对照法
直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于
A．13
B．2
13
C. 2
1
2D. 13
( )
变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝f(x)，若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为( )
A．5
B．－5
1C. 5
1D．－ 5
x2y2
例2 设双曲线a2－b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( )
55 A. B．5 C. D.5
42
题型二 概念辨析法
概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．
例3 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条件，①a＝kb(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝
222
0；③(a＋3b)∥(2a－b)；④a·b＝|a||b|；⑤x21y2＋x2y1≤2x1x2y1y2.其中能够使得a∥b的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 数形结合法
“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．
例4 设集合
??x2y2?
A＝?(x，y)?4＋16＝1
???
??
?，B＝??
{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是 ( )
D．1
( )
A．4 B．3 C．2
例5 函数f(x)＝1－|2x－1|，则方程f(x)·2x＝1的实根的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 题型四 特例检验法
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所
有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
→→→→
例6 已知A、B、C、D是抛物线y＝8x上的点，F是抛物线的焦点，且FA＋FB＋FC＋FD＝
→→→→
0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＋|FD|的值为 ( ) A．2 B．4 C．8 D．16
11
变式训练6 已知P、Q是椭圆3x2＋5y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点，则OP2＋OQ2等于
834
A．34 B．8 C.15 D.225 例7 数列{an}成等比数列的充要条件是 ( ) A．an＋1＝anq(q为常数) B．a2an＋2≠0 n＋1＝an·
n－1
C．an＝a1q(q为常数) D．an＋1＝an·an＋2
a2n4n－1S2n
变式训练7 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a＝，则S的值为 ( )
2n－1nn
A．2 B．3 C．4 D．8 题型五 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．
例8 方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A．0 变式训练8 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( ) A．(0,1) B．(0,1] C．(－∞，1) D．(－∞，1] 题型六 估算法 由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例9 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是 ( ) 16864 A.π B.π C.4π D.π 939 规律方法总结 1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法． 2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃． 3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力. 2 知能提升演练 1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(?NB)等于 ( ) A．{1,5,7} B．{3,5,7} C．{1,3,9} D．{1,2,3} 2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ( ) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 ?ππ? 3．已知函数y＝tan ωx在?－2，2?内是减函数，则( ?? A．0<ω≤1 ) D．ω≤－1 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 4．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有 一个为正数，则实数m的取值范围是 ( ) A．(0,2) B．(0,8) C．(2,8) D．(－∞，0) 7．设x，y∈R，用2y是1＋x和1－x的等比中 项，则动点(x，y)的轨迹为除去x轴上点的 A．一条直线 B．一个圆 C．双曲线的一支 D．一个椭圆 10．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有 ( ) A．a1＋a101>0 B．a2＋a102<0 C．a3＋a99＝0 D．a51＝51 1 11．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－2a8的值为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 11ba 12．若<<0，则下列不等式：①a＋b abab A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 第2讲 填空题的解题方法与技巧 解题方法例析 题型一 直接法 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法． 例1 在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值________． 变式训练1 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________. 题型二 特殊值法 特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行．当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效． (sin A－sin C)(a＋c) 例2 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足＝b sin A－sin B，则C＝_______. 变式训练2 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，cos A＋cos C则＝________. 1＋cos Acos C →→→ 变式训练3 设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为 题型三 图象分析法(数形结合法) 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容． 1 例4 已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为4的等差数列，则|m－n|的值等于________． 变式训练4 不等式（|x|- π2 ）·sin x<0，x∈[-π,2π］的解集为 . 题型四 等价转化法 将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模式．通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果． ?x2－4x＋6， x≥0 例6 设函数f(x)＝?，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)， ?3x＋4， x<0 则x1＋x2＋x3的取值范围是________． ax－11 变式训练6 已知关于x的不等式<0的解集是(－∞,－1)∪(－2，＋∞)，则a的值______． x＋1 规律方法总结 1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果． 2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的 唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面： (1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确； (2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论； (3)要重视对所求结果的检验. 知能提升演练 1．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________. 2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________. 3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则cos〈a，b〉＝________. 1 4．直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－4x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围是________ 5．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 6．已知最小正周期为2的函数y＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝|log5x|的解的个数为________．
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