答案：3
解析：由题意可得a+b=0,a>0,所以a-+1=a++1≥3,当且仅当a=1,b=-1时取等号。
??
??
1
1
20.(2019·河南郑州外国语学校高二上学期开学测试)已知x<,则函数y=2x+
2
11
2??-1
的最大值
是 。 答案：-1
1
解析：∵x<2,2x-1<0,∴1-2x>0。 ∵y=2x+
12??-1
=2x-1+
1
+1=-(1-2??+)+1, 2??-11-2??。
1
11
∴-(y-1)=1-2x+
1-2??
∵1-2x>0,∴1-2x+1-2??≥2√1-2??·(1-2??)=2(当且仅当x=0时,等号成立),∴-(y-1)≥2,∴y≤-1。
21.(2019·湖北部分重点中学高一下学期期中)十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽、柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划。2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每
10??2+100??,0
生产汽车x(百辆),需另投入成本C(x)(万元),且C(x)={ 10000
501??+??-4500,??≥40。由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完。
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本) 答案：当0 y=5×100x-10x2-100x-2500=-10x2+400x-2500; 当x≥40时, 1 y=5×100x-501x- 10000?? +4500-2500=2000-(??+ 10000?? )。 -10??2+400??-2500,0 ∴L(x)={ 10000 2000-(??+),??≥40。 ?? (2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大,并求出最大利润。 2 答案：当0 10000?? 10000?? )≤2000-2√??· 10000?? =2000-200=1800, ,即x=100时,L(x)max=L(100)=1800>1500。 ∴当x=100,即2018年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1800万元。 22.(2019·黄冈中学单元测评)若a>0,b>0,且a+2=1,求a√1+??2的最大值。 2 ??2 答案：解:∵a>0,b>0,a+2=1, 2 ??2 ∴a√1+??2=√??2(1+??2)=√2??2·当且仅当正数a,b满足a=∴a√1+??2的最大值为2 1+??22??22 =√2√??2· √32 1+??22 ≤√2√( ??2++ 2 1??222 2 )=√2√( 1+2 12 2 )= 3√2, 4 1+??22 且a+=1,即a=,b=时等号成立。 2 √22 3√2。 4 专题3 二次函数与一元二次方程、不等式的有关问题 23.若不等式 2??2+2????+??4??2+6??+3 <1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )。 A.(1,3) B.(-∞,3) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞) 答案：A 解析：由4x+6x+3=(2??+)+>0对一切x∈R恒成立,从而原不等式等价于 242x+2mx+m<4x+6x+3(x∈R), 2 即2x+(6-2m)x+(3-m)>0对一切实数x恒成立, 2 所以Δ=(6-2m)-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1 24.(2018·宁夏银川一中高二期中)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)·(x-2)>0的解集是( )。 A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 答案：D 解析：∵关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),∴a>0,??=1,则关于x的不等式(ax+b)(x-2)>0可化为(x+1)(x-2)>0,解得x>2或x<-1。 ∴所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞)。故选D。 25.若a>0,b>0,则不等式-b< ??1 ?? 2 22 32 3 A.- ?? 11 B.-?? ??>0,??<0,??>0,??<0,111 1或{解析：-b??或x<-??。 -????>??????<-1???? 26.(2019·北京昌平一中高一期中)某小型服装厂生产一种风衣,日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x件所需成本为C(元),其中C=(500+30x)元。若要求每天获利不少于1300元,则日销售量x的取值范围是( )。 A.[20,30] B.[20,45] 1 1 1 1 11 C.[15,30] D.[15,45] 答案：B 解析：设该厂每天获得的利润为y元, 2 则y=(160-2x)·x-(500+3x)=-2x+130x-500,0 2 根据题意知,-2x+130x-500≥1300,解得20≤x≤45, ∴当20≤x≤45时,每天获得的利润不少于1300元。故选B。 27.(2019·江苏南京一模)已知函数f(x)=-x+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1),则实数c的值为 。 答案：-4 解析：∵函数f(x)=-x+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0],∴Δ=0,∴a+4b=0,∴b=-4。 ∵关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1), ∴方程f(x)=c-1的两根分别为m-4,m+1, 即方程-x+ax-=c-1的两根分别为m-4,m+1。 4 2 2 2 2 21 ??2 ??2 ∵方程-x+ax-4=c-1的根为x=2±√1-??, ∴两根之差为2√1-??=(m+1)-(m-4),解得c=-4。 28.已知函数y=(m+4m-5)x+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m的取值范围是 。 答案：[1,19) 2 解析：①当m+4m-5=0时,m=-5或m=1。 若m=-5,则函数化为y=2x+3。对任意实数x不可能恒大于0。 若m=1,则y=3>0恒成立。 2 ②当m+4m-5≠0时,根据题意应有 ??2+4??-5>0,{ 2 16(1-??)-12(??2+4??-5)<0, ∴{??<-5或??>1,∴1 综上可知,1≤m<19。 29.(2019·江苏南通如东高中高一上学期期中)若x-2ax+a+2≥0对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围为 。 答案：[-2,2] 22 解析：若对任意x∈[0,2],x-2ax+a+2≥0恒成立,则函数f(x)=x-2ax+a+2在[0,2]上的最小值恒大于等于0。 2 二次函数f(x)=x-2ax+a+2的对称轴为直线x=a。 当a≥2时,函数f(x)在[0,2]上单调递减, f(x)min=f(2)=6-3a≥0,则a=2; 当a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增, f(x)min=f(0)=2+a≥0,则-2≤a≤0; 2 当0 2 2 2 2 ??2 ?? 21 综上,实数a的取值范围为[-2,2]。 30.(2019·江苏苏州张家港高一下学期期中)已知关于x的不等式ax-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}。 (1)求a,b的值; 2 答案：∵不等式ax-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}, 2 ∴a>0,且方程ax-3x+2=0的两个根是1和b。 1+??=??,??=1, 由根与系数的关系,得{2解得{??=2。 1·??=??, (2)解关于x的不等式:ax-(ac+b)x+bx<0。 答案：∵a=1,b=2, 22 ∴ax-(ac+b)x+bx<0,即x-(c+2)x+2x<0,即x(x-c)<0。 ∴当c>0时,解得0 综上,当c>0时,不等式的解集是(0,c);当c=0时,不等式的解集是?;当c<0时,不等式的解集是(c,0)。 31.(2019·南京一中单元检测)已知函数y=√????2+2????+1的定义域为R,解关于x的不等式 2 2 3 x2-x-a2+a<0。 答案：解:∵函数y=√????2+2????+1的定义域为R,∴ax+2ax+1≥0恒成立。 当a=0时,1≥0,不等式恒成立; ??>0, 当a≠0时,则{解得0 ??=4??2-4??≤0, 综上,0≤a≤1。 22 由x-x-a+a<0得(x-a)[x-(1-a)]<0。 2 ∵0≤a≤1,∴①当1-a>a,即0≤a<2时,a 22③当1-a 21 1 12 1 综上,当0≤a<时,原不等式的解集为{x|a 2 2 2 111 时,原不等式的解集为{x|1-a 专题4 一元二次函数、方程和不等式中的易错问题 易错点1 方法选择不当而致错 32.若0 答案：A 解析：本题可用特值法:令a1=0.1,a2=0.9;b1=0.2,b2=0.8,则a1b1+a2b2=0.74;a1a2+b1b2=0.25;a1b2+a2b1=0.26。故选A。 【易错警示】不能小题大做。本题若用作差法比较大小,则比较麻烦。 (a1b1+a2b2)-(a1a2+b1b2)=a1(b1-a2)+b2(a2-b1)=(b1-a2)(a1-b2)。 由条件知0 2 2 11 ∴b1-a2<0,a1-b2<0,∴(b1-a2)(a1-b2)>0,∴a1b1+a2b2>a1a2+b1b2。 (a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0。 ∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1。 设a1=-α,a2=+α,b1=-β,b2=+β,由题意知0<α<,0<β<。 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴a1b1+a2b2-2=4-2(α+β)+αβ+4+2(α+β)+αβ-2=2αβ>0,∴a1b1+a2b2>2。 因此,有关不等式大小的选择题,解题时要依据题目特点灵活选取方法,以简化解题过程。 易错点2 误用不等式的性质而致错 33.已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围。 答案：解:令a+b=μ,a-b=v,则2≤μ≤4,1≤v≤2。 ,??+??=??,2 由{整理得{ ??-????-??=??,??=。 2 1111111 ??= ??+?? ∴4a-2b=4·??+??2 -2·??-??2 =2μ+2v-μ+v=μ+3v。 ∵2≤μ≤4,3≤3v≤6,∴5≤μ+3v≤10, 即5≤4a-2b≤10。 ∴4a-2b的取值范围为[5,10]。 【易错警示】同向不等式的两边可以相加减,但是这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大了所求代数式的取值范围。所以选用不等式性质求解代数式的取值范围时务必小心谨慎。 易错点3 忽略等号成立的条件而致错 34.已知正数x,y满足x+2y=2,则答案：9 解析：因为x,y为正数,且x+2y=2,所以且仅当x=4y=3时,等号成立,所以 4 ??+8?????? ??+8?????? ??+8?????? 的最小值为 。 =(+)·(+??)=++5≥2√·????22????2?? 18????8????8???? +5=9,当 的最小值为9。 1 1 ??+8?????? 【易错警示】本题易出现以下错解:由x+2y=2≥2√2????,解得0 2√8???????? ≥ =4√2??+8?? ≥8,所以的最小值为 ????√????8。错误的根源是没有检验等号成立的条件,事实 上,x=2y=8y对正数x,y是不可能成立的。综上,利用基本不等式求代数式的最值时,要考查 等号成立的条件是否具备,否则应该换方法求最值。 易错点4 多次应用基本不等式而致错 35.已知x>0,y>0且x+y=1,则p=x+??+y+??的最小值为( )。 A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 1 1
新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式专题突破专练一课一练(含解析)人教A版必修一
