第二章专题突破专练
专题1 不等式性质及应用问题
1.(2019·重庆一中模拟)设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是( )。 A.a>b B.??>?? C.<
????11
2
11
D.a>2b
2
答案：A
解析：对于A,∵-1
2
2
2
1
a>1>b-1,但??1>b>-1,但??>??,故C错误;对于D,
若a=8,b=4,此时满足a>1>b>-1,但a<2b,故D错误。
??,??≤??,??,??≤??,
2.(2019·广东江门期末)设a,b∈R,定义运算“”和“”:ab={ab={
??,??>??,??,??>??。若mn≥2,pq≤2,则( )。 A.mn≥4且p+q≤4 B.m+n≥4且pq≤4 C.mn≤4且p+q≥4 D.m+n≤4且pq≤4 答案：A
??≥2,??≥2,
解析：结合定义及mn≥2可得{或{即n≥m≥2或m>n≥2,所以mn≥4;结合定
??>??,??≤????≤2,??≤2,
义及pq≤2可得{或{即q ??>????≤??, 3.(2018·浙江温州模拟)已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出?? A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：运用倒数性质,由a>b,ab>0可得<,②④正确。又正数大于负数,①正确,③错误,故 ????11 11 9 3 2 11111 选C。 4.(2018·广东惠州模拟)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a,c-b=4-4a+a,则a,b,c的大小关系是( )。 A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 答案：A 22 解析：∵c-b=4-4a+a=(a-2)≥0,∴c≥b。 2 又b+c=6-4a+3a, 2 2 ∴2b=2+2a,∴b=a+1, ∴b-a=a-a+1=(??-)+>0, 24∴b>a,∴c≥b>a。 5.(2018·安徽六安模拟)若??0;③a-??>b-??。其中正确的不等式是( )。 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 答案：C 解析：解法一:因为<<0,故可取a=-1,b=-2。 ????11 11 1 1 1 1 2 22 123 显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误。可排除A,B,D。 解法二:由??0,所以??+??<0,????>0,故有??+?? ②中,因为b ③中,因为b 解析：∵x 22 ∴ax>a,x>ax, 22 ∴x>ax>a,故选B。 7.(2018·江苏丹阳模拟)已知实数x,y满足-4≤x+y≤-1,-1≤4x+y≤5,则9x+3y的取值范围是 。 答案：[-6,9] 解析：设9x+3y=a(x+y)+b(4x+y)=(a+4b)x+(a+b)y, ??=1,??+4??=9, ∴{解得{ ??=2,??+??=3,∴9x+3y=(x+y)+2(4x+y), ∵-1≤4x+y≤5, ∴-2≤2(4x+y)≤10, 又-4≤x+y≤-1,∴-6≤9x+3y≤9。 8.某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下: 电子器件种类 每件需要人员数 1 21 3每件产值/(万元/件) 7.5 6 2 2 2 2 111111 111111 A类 B类 今制订计划欲使总产值最高,则A类电子器件应开发 件,最高产值为 万元。 答案：20 330 解析：设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件。根据题意,得+ 2??50-?? 3 ≤20, 解得x≤20。 由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取最大值330。所以欲使总产值最高,A类电子器件应开发20件,最高产值为330万元。 9.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,??-??>0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成正确命题的个数是 。 答案：3 解析：若ab>0,bc-ad>0成立,不等式bc-ad>0两边同除以ab可得->0,即ab>0,bc-ad>0? ???? ???????? ???? ???? ->0; ???? ???? ???? 若ab>0,->0成立,不等式->0两边同乘ab,可得bc-ad>0,即ab>0,->0?bc-ad>0; ???? ???? ???? 若->0,bc-ad>0成立,则-= ???? ???? ????????????-???? ???? >0,又bc-ad>0,则ab>0,即->0,bc-ad>0?ab>0。 ???? ???? 综上可知,以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立,故可组成的正确命题有3个。 10.(2019·湖北襄阳四中周练)已知:a>b>0,c ?? 2(??-??) 2 > ??(??-??) 2。 答案：证明:∵a>b>0,c 1 22 (??-??) <1 2(??-??)?? , ??(??-??) 2又e<0? (??-??) 2>。 专题2 基本不等式及其应用问题 11.(2019·上海青浦一中高一上学期期中)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图2-1所示,我们教材中利用该图证明( )。 图2-1 A.如果a>b,b>c,那么a>c B.如果a>b>0,那么a>b C.对任意正实数a和b,有a+b≥2ab,当且仅当a=b时等号成立 D.如果a>b,c>0,那么ac>bc 答案：C 2 2 2 2 解析：可将直角三角形的两直角边长取作a,b,斜边为c(c=a+b)。则外围的正方形的面积 222 为c,也就是a+b,四个阴影面积之和刚好为2ab。 22 对任意正实数a和b,有a+b≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。 12.若-4 ??2-2??+22??-2 222 ( )。 A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值-1 答案：D 解析： ??2-2??+212??-2 D.有最大值-1 1 =2[(??-1)+??-1]。 1 1 又∵-4 21 -(??-1) ]≤-1,当且仅当x-1= ??-1 ,即x=0时等号成立。 13.若实数a,b满足+=√????,则ab的最小值为( )。 ????A.√2 B.2 C.2√2 D.4 答案：C 解析：由题意,得a>0,b>0。∵√????=??+??≥2√????=14.设b>a>0,且P=√121+22????12 122 2√212 ,当且仅当=时等号成立,∴ab≥2√2。 ????√??????2+??2 2 ,Q=11,M=√????,N= ????2??+??2 + ,R=√,则它们的大小关系是( )。 A.P 答案：A 解析：Q为调和平均数,M为几何平均数,N为算术平均数,R为平方平均数, 由基本不等式性质可知四种平均数满足调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数, ∵b>a>0,∴Q 15.(2019·安徽六安第一中学高一下学期期末)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为( )。 A.8 B.6 C.4 D.2 答案：B 解析：利用基本不等式,x+3y=9-xy=9-·x·3y≥9-( 33∵t>0,解得t≥6,∴x+3y的最小值为6。故选B。 16.若不等式a+b+2>λ(a+b)对任意正数a,b恒成立,则实数λ的取值范围是( )。 A.(-∞,2) B.(-∞,1) C.(-∞,2) D.(-∞,3) 答案：C 22 解析：∵不等式a+b+2>λ(a+b)对任意正数a,b恒成立, 1 2 2 11 1 1??+3??2 2 ),令t=x+3y,故-12t-t+9≤0,又 1 2 ∴λ<∵ ??2+??2+2??+?? 。 2 ??2+??2+2??+?? ≥(??+??) 2 +2??+?? ??+?? = 2 +2 ??+?? ≥2√ ??+??2 · 2??+?? =2, 当且仅当a=b=1时取等号,∴λ<2。 17.(2019·四川成都高一下学期期中)若不等式m≤+的最大值为( )。 A.9 B.2 C.5 D. 259 1 22??1-?? 对任意x∈(0,1)恒成立,则实数m答案：B 解析：设f(x)=2??+1-??=??+1-??(0 1 (1-??)212 12 122 25 1 (1-??)2 ?? +1-??。 1(1-??)2 2?? ∵x∈(0,1),得x>0且1-x>0, ∴ ?? +1-??≥2√ 1 (1-??)2 2?? ?? ·1-??=2, 13 1 (1-??)2 2?? 当且仅当 ??2 = 2??1-?? =1,即x=时, 1 ??9 + 2??1-?? 取得最小值,为2。 ∴f(x)=+2?? 1 的最小值为f()=。 1-??32 1 22??1-?? 而不等式m≤+故选B。 对任意x∈(0,1)恒成立,即m≤( 1 2?? + )1-?? 2 min 。因此,实数m的最大值为。 2 9 18.(2019·陕西西安中学高一期末)给出下列结论:①若a,b为正实数,a≠b,则a+b>ab+ab; ②若a,b,m为正实数,a 其中结论正确的有 。(填序号) 答案：①③ 332223322 解析：对于①,若a,b为正实数,a≠b,∵a+b-(ab+ab)=(a-b)(a+b)>0,∴a+b>ab+ab,故①正确; 对于②,若a,b,m为正实数,a 对于③,若??2>??2,则a>b,故③正确。 故答案是①③。 19.若关于x的不等式ax+b>0的解集为(1,+∞),则a-??+1的最小值为 。 1 ?? ?? ??+???? ??+??????(??-??)??+??????(??+??) ?? ?? ??+???? 3322 -=>0,
新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式专题突破专练一课一练(含解析)人教A版必修一
