...
解得：γ＝2，ρ＝1；
由题意得：A′O＝AO＝1；△ABO≌△A′BO； 由勾股定理得：λ2+μ2＝1①， 由面积公式得：
联立①②并解得：λ＝，μ＝． 故答案为（
，）．
②；
【点评】该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 16．【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解． 【解答】解：令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2， 则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点评】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键． 三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝2﹣
+﹣﹣1＝1﹣
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【解答】解：原式＝1﹣＝1﹣＝＝﹣
﹣，
×
由题意得，x≠﹣1，0，1，
...
...
当x＝3时，原式＝﹣
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19．【分析】（1）连接AM，以M为圆心，MA为半径画弧交直线l于N，点N即为所求； （2）连接AB交直线l于点O，点O即为所求； 【解答】解：（1）作图如图1所示：
（2）作图如图2所示：作图依据是：两点之间线段最短．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
【解答】解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形， ∴AE＝BC＝78，AB＝CE，
在Rt△ACE中，EC＝AE?tan58°≈125（m） 在Rt△AED中，DE＝AE?tan48°，
∴CD＝EC﹣DE＝AE?tan58°﹣AE?tan48°＝78×1.6﹣78×1.11≈38（m）， 答：甲、乙建筑物的高度AB为125m，DC为38m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．
21．【分析】（1）先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角； （3）根据1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14，即可将条形统计图补充完整； （4）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．
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【解答】解：（1）∵调查的总人数为：10÷25%＝40， ∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14， ∴本次调查所得数据的众数是1部， ∵2+14+10＝26＞21，2+14＜20， ∴中位数为2部， 故答案为：1、2；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：故答案为：54；
（3）条形统计图如图所示，
×360°＝54°；
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 画树状图可得：
共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种， 故P（两人选中同一名著）＝
＝．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．注意平均条数＝总条数÷总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
22．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；
（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD＝2DH，
...
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在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB＝2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB＝DF，等量代换即可得证． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵ED⊥DB，FB⊥BD， ∴∠EDB＝∠FBD＝90°， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA）； （2）作DH⊥AB，垂足为H， 在Rt△ADH中，∠A＝30°， ∴AD＝2DH，
在Rt△DEB中，∠DEB＝45°， ∴EB＝2DH， ∵ED⊥DB，FB⊥BD． ∴DE∥BF，∵AB∥CD， ∴四边形EBFD为平行四边形， ∴FD＝EB， ∴DA＝DF．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．【分析】（1）根据A横坐标确定出OB的长，利用锐角三角函数定义及勾股定理求出AB的长，确定出
C坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）四边形OCDB的面积等于三角形AOB面积减去三角形ACD面积，求出即可． 【解答】解：（1）∵A点的坐标为（8，y），AB⊥x轴， ∴OB＝8，
∵Rt△OBA中，sin∠OAB＝，
...
...
∴OA＝8×＝10，AB＝
∵C是OA的中点，且在第一象限， ∴C（4，3），
∴反比例函数的解析式为y＝（2）连接BC， ∵D在双曲线y＝
；
＝6，
上，且D点横坐标为8，
∴D （8，），即BD＝， 又∵C（4，3），
∴S四边形OCDB＝S△BOC+S△BDC＝×8×3+××4＝15．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例解析式，以及反比例的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似； （2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF＝∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF＝∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解． （3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围． 【解答】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴∠ABE＝90°，AD∥BC， ∴∠PAF＝∠AEB， 又∵PF⊥AE，
∴∠PFA＝90°＝∠ABE，
∴△PFA∽△ABE． … （2）解：分二种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB， ∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA＝EB＝3，即x＝3． … ②若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB， ∵AD∥BC ∴∠PAF＝∠AEB， ∴∠PEF＝∠PAF． ∴PE＝PA．
...
2019-2020学年广东省中山市中考数学一模试卷(（有标准答案）)
