第8课时
二、平面向量数量积的运算律
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．“投影”的概念：作图
C
定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|. 4．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或|a|?a?a
4?cos? =
a?b ；5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为?，则a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos? ∴a ? b = b ? a
2．数乘结合律：(?a)?b =?(a?b) = a?(?b)
证：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?， ?(a?b) =?|a||b|cos?，a?(?b) =?|a||b|cos?，
若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???) = ??|a||b|(?cos?) =?|a||b|cos?，?(a?b) =?|a||b|cos?， a?(?b) =|a||?b|cos(???) = ??|a||b|(?cos?) =?|a||b|cos?. 3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作OA= a， AB= b，OC= c， ∵a + b （即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2
∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2， ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0
ａ＝ｂ
２
２
（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ
２
２
２
第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：
数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. C 4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?； 2? a?b ? a?b = 0
3? 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或
|a|?a?a
4? cos? =
a?b ；5?|a?b| ≤ |a||b|
|a||b|
5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a
数乘结合律：(?a)?b =?(a?b) = a?(?b) 分配律：(a + b)?c = a?c + b?c 二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，试用a和b的坐标表示a?b.
设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么a?x1i?y1j，b?x2i?y2j 所以a?b?(x1i?y1j)(x2i?y2j)?x1x2i?x1y2i?j?x2y1i?j?y1y2j 又i?i?1，j?j?1，i?j?j?i?0，所以a?b?x1x2?y1y2
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a?b?x1x2?y1y2 2. 平面内两点间的距离公式
一、 设a?(x,y)，则|a|?x?y或|a|?22222x2?y2.
（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么
|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面内两点间的距离公式)
二、 向量垂直的判定
设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b ?x1x2?y1y2?0 三、 两向量夹角的余弦（0????）
cos? =
a?b?|a|?|b|x1x2?y1y2x1?y122x2?y222
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
