3.2立体几何中的向量方法（一）
学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量
思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用→→
向量OP来表示．我们把向量OP称为点P的位置向量．
(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．
→→
②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP＝tAB，此方程称为直线的向量参数方程． (3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，→
a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理 (1)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 平面的法向量 (2)空间中平行关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
l∥m?a∥b?a＝kb (k∈R) l∥α?a⊥μ?a·μ＝0 α∥β?μ∥v?μ＝kv (k∈R) l⊥m?a⊥b?a·b＝0 l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R) α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0 能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量 第 1 页 共 22 页
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？
(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？
答案 (1)由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2?v1∥v2?v1＝λv2(λ∈R)．
(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行． (3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．
梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
类型一 利用方向向量和法向量判定线面的位置关系
例1 (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系： ①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；
(2)设μ，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： 1①μ＝(－1,1，－2)，v＝(3,2，－)；
2②μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)；
(3)设μ是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断平面α与l的位置关系：
①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)； ②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)．
解 (1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)， ∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b， ∴l1⊥l2.
1
3，2，－?， (2)①∵μ＝(－1,1，－2)，v＝?2??∴μ·v＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v，∴α⊥β. ②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)， 3
∴μ＝－v，∴μ∥v，∴α∥β.
2
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(3)①∵μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)， ∴μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l?α或l∥α.
②∵μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)． 1
∴μ＝a，∴μ∥a，∴l⊥α.
4
反思与感悟 利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性． 跟踪训练1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； (2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；
(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)． 解 (1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3) 1
∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.
3
(2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面，但不垂直． (3)∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴μ·v≠0且μ≠kv(k∈R)，
∴μ与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直． (4)∵a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， 1∴μ＝－a，
4∴μ∥a，即l⊥α. 类型二 求平面的法向量
例2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB1
＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA的法向量．
2
→→
解 ∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以AD、AB、
1→
，0，0?，C(1,1,0)，AS的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，则A(0,0,0)，D??2?S(0,0,1)，
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1→
，0，0?是平面SAB的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)， AD＝??2?→?1，1，0?＝1＋λ＝0， 则n·DC＝(1，λ，u)·?2?21
∴λ＝－.
2
→?－1，0，1?＝－1＋u＝0， n·DS＝(1，λ，u)·?2?2111
1，－，?. ∴u＝，∴n＝?22??2综上，
11
平面SCD的方向量为n＝(1，－，)，
22→1
平面SBA的法向量为AD＝(，0,0)．
2
反思与感悟 设直线l的方向向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量υ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?μ∥υ?μ＝kν?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中k∈R， 平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标： a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，
③依据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
?n·a＝0，?? ?n·b＝0，?
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．
→
跟踪训练2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证DB1是平面ACD1的一个法向量． 证明 设正方体的棱长为1，
→→→
分别以DA，DC，DD1为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， →→→
则DB1＝(1,1,1)，AC＝(－1,1,0)，AD1＝(－1,0,1)， →→
于是有DB1·AC＝0， →→所以DB1⊥AC， 即DB1⊥AC， 同理DB1⊥AD1， 又AC∩AD1＝A，
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所以DB1⊥平面ACD1，
→
从而DB1是平面ACD1的一个法向量． 类型三 利用空间向量证明平行关系
例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， →→→
所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， →→
则n1⊥DA，n1⊥AE，
→??DA＝2x1＝0，?n1·?x1＝0，即?得?
?→z＝－2y，?11?AE＝2y1＋z1＝0，?n1·
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． →→
因为FC1·n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1. 又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
→→→(2)因为C1B1＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1，n2⊥C1B
1，
→??FC1＝2y2＋z2＝0，?n2·?x2＝0，得?得?
?→z＝－2y.?22?C1B1＝2x2＝0，?n2·
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)， 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练3 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成1
的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝
2AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由．
解 分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， →
设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)，
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立体几何中的向量方法(一)
