举例
eg 1 y=sinx, x∈(-∞,+∞)，y∈[-1,+1]，由于［－1,＋1］是y轴的一个子集，故这个映射是x到y内的映射，是属于“非全射”。
2
eg 2 y=x, x∈(-∞,+∞), y∈(0,+∞)。这是由x到y内的映射，也属于“非全射”。
eg 3 y=x3, x∈(-∞,+∞), y∈(-∞,+∞)。这个映射是由x射到y轴上的映射，属于“全射”。并且也是“单射”，同时也是“一一映射”。
Ch 3 Fuzzy控制理论的预备知识
§3－1 Fuzzy关系与Fuzzy关系图 一 Fuzzy关系R
~
第二章讲过，所谓关系R，实际上是A和B两集合的直积A×B的一个子集。现在把它扩展到Fuzzy集合中来，可定义如下：
所谓A和B两集合的直积
A×B＝﹛(a，b)|a∈A，b∈B﹜ 中的一个模糊关系R，是指以A×B为论域的一个Fuzzy子集，其序偶(a，b)的
~隶属度为 ?R (a，b)，可见R是二元Fuzzy关系。
~~ 3-1
Nose：当A=B时，我们称之为“A面上的Fuzzy关系”R。
eg． 要求列出集合A=﹛1，5，7，9，20﹜“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R。
~解：直积空间R＝A×A中有25个“序偶”，其中
R1=﹛(20,1)，(20,9)，(20,7)，(20,5)，(9,7)，(9,5)，(9,1)，(7,5)，(7,1)，(5,1)﹜ 是满足“前元比后元大”的子集。 R?~0.5?(5,1)0.70.810.10.3?????(7,1)(9,1)(20,1)(7,5)0.950.10.9??? (97,5))(2(200,7,5))((290,,9)0.85上式中分子的值即是按人的判断结果给出的相应满足“前元比后元大得多”
的程度，还有一种求法是利用适当的隶属函数来确定。
1?,y?x?20? ?R(x,y)??1?(x?y)2~???0,y?xx=20，y=1 代入得?R(20,1)≈0.95
~x=20，y=5 代入得?R(20,5)≈0.92
~x=20，y=7 代入得?R(20,7)≈0.89
~x=20，y=9 代入得?R(20,9)≈0.85
~ ┇
?R(20,1)=0.95,表明20>>1的程度为0.95。
~?R(7,5)=0.1，表明7>>5的程度仅为0.1。(确切的：满足“前元比后大得多”
~的程度)。
3-2
综上所述，只要给出直积空间A×B中的Fuzzy集R的隶属函数?R(a,b)，
~~集合A到B的Fuzzy关系R也就确定了。
~Fuzzy关系R实质上是一个Fuzzy子集，因此其运算完全服从第二章所述的
~Fuzzy子集的运算规则。
① 自返性：
一个Fuzzy关系R，若?x∈X，必有?R(x,x)＝1，即每个元素x与自身隶
~~属于Fuzzy关系R的隶属度为1，称这样的为具有自返性的Fuzzy关系。
~② 对称性：
一个Fuzzy关系R，若?x，y∈X，均有
~?R(x,y)??R(y,x)
~~即（x，y）隶属于Fuzzy关系R和(y，x) 隶属于Fuzzy关系R的隶属度相同，则
~~R为具有对称性的Fuzzy关系。
~③ 传递性：
一个Fuzzy关系R，若?x，y，z∈X，均有
~?R(x,z)?min??(x,y),?R(y,z)? R??~?~~?即（x，z）隶属于Fuzzy关系R的隶属度小于（x，y）和(y，z) 隶属于Fuzzy关
~系R的隶属度中较小的那一个，则称R为具有传递性的Fuzzy关系。3-3
~~举例：“相像关系”具有自反性，因为某人自己像自己的隶属度显然为1，而“仇敌关系”不具自反性，因为某人都不会与自己为敌。“相像关系”又具有对称性，如甲像乙，必然乙也像甲。“相爱关系”就不具有对称性，因为甲爱乙，乙不一定爱甲。“大得多”的关系具有传递性，如甲比乙大得多，乙又比丙大得多，则甲比丙大得多。“相像关系”就不具有传递性，甲像乙，乙像丙，但甲不一定像丙。
④ 模糊等容关系
即具有自反性，又具有对称性的模糊关系R称为模糊等容（相容）关系。
~上述的相像关系就是一种模糊关系，而不是模糊等价关系。
模糊关系是普通关系的推广。在模糊某合论中，模糊关系占有重要地位。普通关系是描述元素之间是否有联系，而模糊关系则描述元素之间的关联程度有多少。（绝对稳定与相对稳定）.
⑤ 模糊等价关系
如果论域上的一个模糊关系R满足条件
~① 自反性：?R(x,x)?1
~② 对称性：?R(x,y)??R(y,x)
~~③ 传递性：R2?R
则模糊关系R叫做X上的一个等价关系。3-4
~２．Fuzzy矩阵和关系图
当论域A×B为有限集时，Fuzzy关系R可以用矩阵来表示。
~Fuzzy矩阵是研究Fuzzy关系的重要函数。
eg． 有一组学生组成集合X：
X＝﹛张三，李四，王五﹜
设他们可任选的外语课有四门，组成集合Y： Y＝﹛英，日，德，法﹜ 并且他们的期末考试成绩如下表
姓名 语种 成绩
张三 英语 ８０ 张三 法语 ８５ 李四 德语 ９５ 王五 日语 ６５ 王五 英语 ７８
如果把他们的成绩都除以100，折合成隶属度，则可认为他们和考试成绩
~之间构成X×X上的一个Fuzzy关系R，如下表所示：
R 英语 日语 德语 法语
~ 张三 0.80 0 0 0.85 李四 0 0 0.95 0 王五 0.78 0.65 0 0 3-5
把它写成矩阵形式，即得
000.85??0.80? R??000.950??~?00??0.780.65?称此矩阵为“Fuzzy矩阵”。其中每一个元素都在［0，1］闭区间取值，
这是普通关系矩阵的扩展。
Fuzzy矩阵也可用相应的Fuzzy关系图来表示，本例中所对应关系图如图3－1所示。
Note：
1) 若R是连续或无限的，则不能用Fuzzy矩阵和Fuzzy关系图来表示，
~但有时可抽出几个离散点用Fuzzy矩阵来处理。
2) 若论域A×B为有限集时，Fuzzy关系R可以表达成矩阵形式：
~
式中，0≤rij≤1；i=1,2,?,n；j=1,2,?,m。
3) 当我们用Fuzzy矩阵来表现Fuzzy关系R时，其中的rij应当能表示集合A
~中第i个元素和集合B中第j个元素组成的序偶隶属于Fuzzy关系R的程度。3-6
~三．Fuzzy关系矩阵的运算和应用 1．Fuzzy关系矩阵的运算 ① 矩阵“并” 定义：设Fuzzy矩阵A=[aij]和B=[bij]，若有cij=∨[aij，bij]=aij∨bij,则称C=[cij]
~~~为Fuzzy矩阵A和B的并，简记为C=A∪B。
~~~~~2．矩阵“交” 定义：设Fuzzy矩阵A=[aij]和B=[bij]，若有cij=∧[aij，bij]=aij∧bij,则称C=[cij]
~~~为Fuzzy矩阵A和B的交，简记为C=A∩B。
~~~~~3．矩阵“补”
定义：设Fuzzy矩阵A=[aij]，则A＝??1?aij??称为A的补。
~~?~４．矩阵“积”
定义：若有Fuzzy矩阵A和B,且A=[aij]，B=[bij]，令C=AοB，且C中的
~~~~~~~~元素Cij=V[aik∧bkj]。3-7 则称C为Fuzzy矩阵A和B的积。（Fuzzy矩阵的积对
R?1~n~~应于Fuzzy关系的合成）。
?0.50.3??0.80.5?Beg． A=?，= ???~~?0.40.8??0.30.7??0.5?0.80.3?0.5??0.50.3?A∪B=??=?0.30.7? ~~0.4?0.30.8?0.7?????0.5?0.80.3?0.5??0.50.3?=? A∩B=???~~?0.4?0.30.8?0.7??0.30.7??1?0.51?0.3??0.50.7?A=??=?0.60.2? ~1?0.41?0.8??????(0.5?0.8)?(0.3?0.3)(0.5?0.5)?(0.3?0.7)??0.50.5?=? AοB=???~~?(0.4?0.8)?(0.8?0.3)(0.4?0.5)?(0.8?0.7)??0.40.7??(0.8?0.5)?(0.5?0.4)(0.8?0.3)?(0.5?0.8)??0.50.5?BοA=??=?0.40.7? ~~(0.3?0.5)?(0.7?0.4)(0.3?0.3)?(0.7?0.8)????
模糊控制的数学基础-2(3-1至3-15)模糊关系、逻辑及运算
