方成正比
计算物体由x 0移至x a时 克服媒质阻力所作的功
解因为x ct3 所以
2
v x(t) 3CX2
阻力 f
kv2 9kc2t4
而t C)3
c
所以
4 2 4
f (x) 9kc2(-)3
c 功元素dW
a
9kc3x'
f(x)dx
所求之功为
W 0[ f(x)]dx
o
9kc3x3
dx
0
7
9kc3 x3dx kc3a3
2 a 4 272 7
5 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉击
入木板的深度成正比 在击第一次时 将铁钉击入木板1cm 如
问锤击第二次时 铁钉又击
果铁锤每次打击铁钉所做的功相等 入多少
解设锤击第二次时铁钉又击入hem 因木板对铁钉的阻力f与 铁钉击入木板的深度 x(cm)成正比 即f kx 功元素dW f dx kxdx 击第一次作功为
1
W kxdx 丄k
1 o 2
击第二次作功为
i
W2
2
1 kxdx *k(h 2h)
1 h
因为Wi W2 所以有
2k 2k(h2 2h)
解得 h .、2 1 （cm）
6 设一锥形贮水池 深15m 口径20m 盛满水 今以唧
筒将水吸尽
问要作多少功
解在水深x处
水平截面半径为r 10 3 x
3
功元素为
dW x r2dx x(10 |x)2dx
所求功为
15 0
x(10
|x)2dx
15
(100x
40x2
9 恥
1875（吨米）（kJ）
有一闸门
闸门上所受的水压力
它的形状和尺寸如图 水面超过门顶2m 求
O 解建立x轴 方向向下
原点在水面
I\_ ,1 dx X 3 m r -2 in— V
水压力元素为
dP 1 x 2dx 2xdx
闸门上所受的水压力为
5
P 2 2xdx x22 21（吨）=205
8
5
8（kN）
尺寸如图所示
洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体
计算水箱的一个端面所受的压力
当水箱装满水时
1.5m
解建立坐标系如图 则椭圆的方程为
压力元素为
dP 1 x 2y(x)dx
8
【（） (x
32
3)2dx
所求压力为
18 -3
()2 (x
4畑 3
2
2
4(1 sint) 4cost 4costdx
9 02cos2tdx
(吨)(kN)
（提示积分中所作的变换为x 49
3
sint）
有一等腰梯形闸门 它的两条底边各长10m和6m 高为 计算闸门的一侧所受的水压力 直线AB的方程为
20m 较长的底边与水面相齐
解建立坐标系如图
垃
1 y 5 ' x
10
\\ °
\\ \\ 20
（
f
1
v
压力兀素为
虫(20.3)
dP 1 x 2y(x)dx x (10 x)dx
1
所求压力为
20
° x(10 丄 x)dx 1467(吨) 0 5
10
14388(千牛)
一底为8cm高为6cm的等腰三角形片 铅直地沉没在水 中 顶在
上 底在下且与水面平行 而顶离水面3cm 试求它每 面所受的压力
解建立坐标系如图
腰AC的方程为y |x 压力元素为
3
dP (x 3)2xdx
3
高等数学课后习题答案第六章
