求这截锥体的体积 解 建立坐标系如图
过y轴上y点作垂直于y轴的平面
易得其长短半轴
则
平面与截锥体的截面为椭圆 分别为
A A^y
h B B^y
h
截面的面积为(A APy) (B B上y)
h 于是截锥体的体积为
h
0
(A
A a
y) (B ~~h~
B^y) dy 1 h[2(ab AB) aB bA] h 6
18
计算底面是半径为 R的圆
而垂直于底面上一条固定直
径的所有截面都是等边三角形的立体体积
解设过点x且垂直于x轴的截面面积为
A(x)
由已知条件知
它是边长为＜R2 x的 其值为
等边三角形的面积
A(x) 3( R2 x2)
:、3(R2 x2)dx
所以
19 证明由平面图形0 a x b 0 y f (x)绕y轴旋转所
成的旋转体的体积为
V 2 xf(x)dx
a
b
证明 如图
在x处取一宽为dx的小曲边梯形
小曲边梯形绕
y轴旋转所得的旋转体的体积近似为
2 x f (x) dx 这就是体积元素
即
dV 2 x f (x) dx
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
V 2 xf(x)dx 2 xf (x)dx
20
b b
利用题19和结论
a
a
计算曲线y sin x(0 x
所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积
解 V 2 °xsinxdx 2 oXdcosx 2 ( xcosx sinx)。2 2
21 计算曲线y In x上相应于「3 x J8的一段弧的长度
解s
:点y(x)dx皐2
1 (弓臥；^dx
令1 x2 t 即x < t2 1 则
3_
t _____ t_ dt 22dt2、t 1、t 1
3
￡dt 22
t 1
3/
dt 2t2 1dt 1 2ln 2
3
22
计算曲线y ~3 (3 x)上相应于
1 x 3的一段弧的长度
解 y X 1X、X y
3
2TX护
1 4X
所求弧长为
s 2：(依 ±)dx 2(牛仮 24X)1 2/3
23
弧的长度
计算半立方抛物线
y2 |(X 1)3被抛物线y2 |截得的一段
3 3
y2 2(x 1)3
3
得两曲线的交点的坐标为 y2 X
I
(2,
(2,
所求弧长为
2：,1—ydx
2
因为
2
2(x 1) y 2yy
2
(X 1)4 y
宁
(x 1)4
|(X 1)
2(X 1)3
所以
24
弧长
解
25
全长
解 26
终相切
s 21-1 2（x 1）dx 3；： 3x 1d（3x 1） 8[（|）l 1]
计算抛物线y2 2px从顶点到这曲线上的一点 Mx
y）的
)2do
x (y)dy
I1(Py
■■
十2\—/ ?n( y
y2)]0
y
.. p22 y2
p,ny p y2 2p卩
2
p
计算星形线x aco$t
y asin3t 的
用参数方程的弧长公式
s 4 02、x2（t） y2（t）dt
4。彳[3acos2t ( si nt)]2 [3asi n2t cost]2dt
12 20
si n t costdt 6a
将绕在圆（半径为a）上的细线放开拉直 使细线与圆周始 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线
它的方程为
高等数学课后习题答案第六章
