一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，2）代入 ∴反比例函数解析式为： 把C（﹣1，n）代入 n=﹣6
∴C（﹣1，﹣6）
把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：
，解得：
得：k=6
，得：
所以一次函数解析式为y1=2x﹣4
（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3． （3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形 如图，
过B作BP1⊥y轴于P1 ，
∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形 此时，P1（0，2） 过B作BP2⊥AB交y轴于P2 ∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形 在Rt△P1AB中，
在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB
∴
∴P2（0， ）
综上所述，P1（0，2）、P2（0， ）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．
2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；
（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．
【答案】（1）解：是“相邻函数”，
理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1， ∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，
∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，
即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”
（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a， ∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1）， ∴顶点坐标为：（1，a﹣1）， 又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，
∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a， ∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”， ∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即 ∴0≤a≤1
，
（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4， ∵y= +2x﹣4
∴当x=1时，函数有最小值a﹣2， 当x=2时，函数有最大值 ，即a﹣2≤y≤ ， ∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，
∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即 ∴1≤a≤2；
∴a的最大值是2，a的最小值1
，
【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值 ，因为函数y=
与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a的最小值1.
3．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．
（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形， ①求反比例函数的解析式；
②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值． 【答案】（1）减小
（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，
∵A1的坐标为（2，0）， ∴OA1=2，
∵△P1OA1是等边三角形， ∴∠P1OA1=60°， 又∵P1B⊥OA1 ， ∴OB=BA1=1， ∴P1B=
，
），
， ；
∴P1的坐标为（1，
代入反比例函数解析式可得k= ∴反比例函数的解析式为y=
②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，
∵△P2A1A2为等边三角形， ∴∠P2A1A2=60°， 设A1C=x，则P2C=
x，
x），
x=
，
﹣1（舍去），
（ ﹣
﹣1）= ），
﹣
，
∴点P2的坐标为（2+x，
代入反比例函数解析式可得（2+x） 解得x1= ∴OC=2+
﹣1，x2=﹣ ﹣1=
+1，P2C= +1，
∴点P2的坐标为（ ∴当1＜x＜
+1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值
【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变， 故△P1OA1的面积将减小， 故答案为：减小；
【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.
4．抛物线y=
+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点
M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值； （2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB； （3）若射线NM交x轴于点P，且PA?PB=
，求点M的坐标．
【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1） ∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1） ∵顶点在直线y=x+3上， ∴﹣2+3=m﹣1， 得m=2；
人教备战中考数学二轮 反比例函数 专项培优 易错 难题
