??1???则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ?0?,
?1?????1???所以①与②的全部公共解为k?0?，k为任意常数. （4分）
?1???2° 当a?2时，有r(A)?r(A)?3，方程组③有唯一解, 此时
?1??0A??0??0?00100??1?，
01?1??000???0??0?????故方程组③的解为:?1?, 即①与②有唯一公共解x??1?. （4分）
??1???1?????线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共28分)
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的
四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式
a11a21a12a22=m，
a13a23a11a21=n，则行列式
a11a21a12?a13a22?a23等于（ ）
A. m+n C. n-m 2.设矩阵
B. -(m+n) D. m-n
?100???A=?020?，则???003?A-1等于（ ）
?1??3 A. ?0??0??0120?0??0??1???
??1?B. ?0???0??1??2D. ?0??0??0120?0??0??1??3?
?1?00??3? C. ?010?1????00?2??
?00??1?03?01???
3.设矩阵
?3?12???A=?10?1?，A*是????214?A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）
B. 6
A. –6 C. 2
D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0
B. B?C时A=0 D. |A|?0时B=C
C. A?0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 C. 3
B. 2 D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β
2
+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（α
s
+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs
（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+
λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解
B.η1+η2是Ax=b的一个解 η1-η2是Ax=b的一个解
12129.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A) B.秩(A)=n-1 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于 λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 C. k=3 B. k<3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 =AT B.|A|必为1 的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） 与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??23???34? B.??34???26? ?100??? C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?第二部分 非选择题（共72分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确 的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 15. 111356? . 92536?1?11???11?1?16.设A=?，B=??123????1?24?.则A+2B= . 17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r( 21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 23.设矩阵 ?0106???A=?1?3?3?????2108??2???，已知α=??1????2?是它的一个特征向量，则α所对应的特征 值为 . 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.设 ?120???A=?340?????121?，B=?3?521110?5?23?1????240?.求（1）ABT；（2）|4A|. 26.试计算行列式 ?123?413?1?3. 27.设矩阵 ?423???A=?110?????123?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B. ?1??3??????3?0??，α2=??，α3=??2?2????4????1??0????1?，α4=??4????9???2???1?28.给定向量组α1=??0????3?.
线性代数期末考试试卷+答案合集
