第4章 随机变量的数字特征
一、填空题
1、设X为北方人的身高，Y为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于 E(X)?E(Y)
2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X)?D(Y) .
3、已知随机变量X服从二项分布，且E(X)?2.4,D(X)?1.44，则二项分布的参数
n= 6 , p= .
4、已知X服从?(x)?5、设X的分布律为
1?e?x2?2x?1，则. E(X)= 1 ,D(X)= 1/2 .
X P ?1 1 80 1 2 1 41 21 8则E(2X?1)?9/4 .
6、设X,Y相互独立，则协方差cov(X,Y)? 0 .
这时，X,Y之间的相关系数?XY? 0 .
7、若?XY是随机变量(X,Y)的相关系数，则|?XY|?1的充要条件是
P?Y?aX?b??1.
8、?XY是随机变量(X,Y)的相关系数，当?XY?0时，X与Y 不相关 ，当|?XY|?1时， X与Y 几乎线性相关 .
9、若D(X)?8,D(Y)?4，且X,Y相互独立，则D(2X?Y)? 36 . 10、若a,b为常数，则D(aX?b)?aD(X).
211、若X,Y相互独立，E(X)?0,E(Y)?2，则E(XY)? 0 . 12、若随机变量X服从[0,2?]上的均匀分布，则E(X)? π .
13、若D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，则cov(X,Y)? 12 ，D(X?Y)? 85 ，
D(X?Y)? 37 .
14、已知E(X)?3，D(X)?5，则E(X?2)? 30 .
2?e?xx?015、若随机变量X的概率密度为?(x)??，则E(2X)? 2 ，
?0x?0 E(e?2X)?1/3 .
二、计算题
1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检查，每次取1个，直到查到次品为止。设X 表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品
解: X的分布律为:
X pk
E(X)? 答：略
1 1/5 2 1/5 3 1/5 4 1/5 5 1/5 1(1+2+3+4+5)=3. 52、某机携有导弹3枚，各枚命中率为p，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射] 击几次
解: 设X为射击次数，则X的分布律为:
X pk
1 2 3 p p(1?p) (1?p)2 ? E(X)?p?2p(1?p)?3(1?p)?p?3p?3
答：略
3、设X的密度函数为f(x)?? 解: E(X)?222?2x?00?x?1其它10，求E(X)、D(X)
?????xf(x)dx??2x2dx?212 31 ???02122122 故 D(X)?E(X)?(E(X))??()?
2318 E(X)???xf(x)dx??2x3dx?
4、(拉普拉斯分布)X的密度函数为f(x)?解: E(X)???1?|x|求. E(X)、D(X) e(???x???)，
21?x x???2edx?0
????????1?xedx??x2e?xdx???x2de?x002E(X2)?? x2 ??xe2?x??0??0?2???0xe?xdx??2???0xde?x
??2e?x?222 故 D(X)?E(X)?(E(X))?2
0, x??1??5、设连续型随机变量X的分布函数F(X)??a?barcsinx, ?1?x?1
?1, x?1? 求 a、b、E(X)、D(X). 解: ? X为连续型随机变量，
? F(x)为连续函数.
? F(?1?)?F(?1), ? a??2b?0 ? F(1?)?F(1), ? a??2b?1
可解得; a?12, b??1.
X的概率密度
1?,x?1? f(x)?F?(x)???1?x2
?其它?0, E(X)??????xf(x)dx??21x?1?1?xx22dx=0
D(X)?E(X)?令 x?sint，则 D(X)??1?1?1?x2dx????021x21?x2dx
2???20sin2tdt?1 26、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为、、, 假设它们的状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求E(X)、D(X)
解: 设Ai表示第i个部件需调整，i=1,2,3 Xi???1, Ai发生 则 X?X1?X2?X3
?0，Ai不发生， E(Xi)?P(Ai), D(Xi)?P(Ai)?1?P(Ai)? i?1,2,3 故 E(X)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.1?0.2?0.3?0.6
D(X)?D(X1)?D(X2)?D(X3) ?0.1?0.9?0.2?0.8?0.3?0.7?0.46
7、对圆的直径作近似测量，设其值X均匀分布在区间[a,b]内，求圆面积的数学期望.
解: 因为X~U(a,b)，所以X的密度
?1?, a?x?b f(x)??b?a
?其它?0, 设Y=“圆面积”，则 Y=
?4X2，所以
π2πbx2?E(X)?E(X)??dx?(a2?ab?b2).
44ab?a128、设随机变量X~e(2)、Y~e(4)，求E(X?Y)、E(2X?3Y).
2111, E(Y)?, D(Y)? 2416113所以 E(X?Y)?E(X)?E(Y)???.
244解: 显然 E(X)?E(2X?3Y2)?2E(X)?3D(Y)?(E(Y))2 115?1?3(?)?16168
9、设(X,Y)的分布律为
求 E(X),E(Y). 解
??X -1 0 Y 1 2 0 3 0 1 : E(X)?(?1)(0.2?0.1?0)?0?1?(0.1?0.1?0.1)?0
E(Y)?1?(0.2?0.1?0.1)?2?(0.1?0?0.1)?3?(0?0.3?0.1)
?210、已知随机变量X的概率密度为f(x)???1?|1?x|0?0?x?2其它
天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解
