莁《概率论与数理统计》
罿第一章 概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 A?B 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 A?B ?{xx?A或x?B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅
虿
蚃
肃当A，B中至少有一个发生时，事件A?B发生
蚈 A?B ?{xx?A且x?B}称为事件A与事件B的积事件，指当A，B
同时发生时，事件A?B发生
蝿 A—B ?{xx?A且x?B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅
当A发生、B不发生时，事件A—B发生
肄 A?B??，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事
件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
蒁 A?B ?S且A?B??，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件
A与事件B互为对立事件
螁2．运算规则 交换律A?B?B?A A?B?B?A
衿结合律(A?B)?C?A?(B?C) (A?B)C?A(B?C)
蒅分配律A?（B?C）?(A?B)?(A?C)
芃 A?(B?C)?(A?B)(A?C)
蒀徳摩根律A?B?A? B A?B?A?B
—
羈§3．频率与概率
定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率
袆
蚁概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率
艿1．概率P(A)满足下列条件：
羈（1）非负性：对于每一个事件A 0?P(A)?1
芇（2）规范性：对于必然事件S P(S)?1
莃（3）可列可加性：设A1,A2,?,An是两两互不相容的事件，有P(?A)??P(A)（nkkk?1k?1nn可以取?）
节2．概率的一些重要性质：
肈（i）P(?)?0
莄（ii）若A1,A2,?,An是两两互不相容的事件，则有P( ?A)??P(A)（n可以取?）
kkk?1k?1nn
肅（iii）设A，B是两个事件若A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)，P(B)?P(A)
肁（iv）对于任意事件A，P(A)?1
膈（v）P(A)?1?P(A) （逆事件的概率）
螅（vi）对于任意事件A，B有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
薂§4等可能概型（古典概型）
等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同
个基本事件，即A?{ei1]}?{ei2}???{eik}，里
袀
芈若事件A包含k
i1，i2,?，ik是1,2，?n中某k个不同的数，则有P(A)??P{eij}?j?1k??kA包含的基本事件数? nS中基本事件的总数
膅§5．条件概率
P(AB)为事件A发生的P(A)（1）
（2） 芄定义：设A,B是两个事件，且P(A)?0，称P(B|A)?条件下事件B发生的条件概率
（3）
（4） 薈条件概率符合概率定义中的三个条件
莈1非负性：对于某一事件B，有P(B|A)?0
。
薆 2规范性：对于必然事件S，P(S|A)?1
螂。
3可列可加性：设B1,B2,?是两两互不相容的事件，则有
??P(?BiA)??P(BiA)
i?1i?1（5）
（6） 蚁乘法定理 设P(A)?0，则有P(AB)?P(B)P(A|B)称为乘法公式
蒈 （7）
（8） 螃全概率公式： P(A)??P(B)P(A|B)
iii?1n
蒄贝叶斯公式： P(Bk|A)?P(Bk)P(A|Bk)?P(B)P(A|B)iii?1n
莀§6．独立性
薈定义 设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A,B相互独
立
膄定理一 设A，B是两事件，且P(A)?0，若A，B相互独立，则P(B|A)?P?B?
袂定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B，A与B，A与B
————
腿第二章 随机变量及其分布
§1随机变量
定义 设随机试验的样本空间为S?{e}. X?X(e)是定义在样本空间S上的实值单值
薇
薅函数，称X?X(e)为随机变量
蚄§2离散性随机变量及其分布律
1．
2． 膂离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种
随机变量称为离散型随机变量
蚇P(X?xk)?pk满足如下两个条件（1）pk?0，（2）?Pk=1
k?1?3．
4． 羆三种重要的离散型随机变量
肂
羁（1）分布
螇 设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是
分布或两
k1-kP(X?k)?p（1-p），k?0,1（0?p?1)，则称X服从以p为参数的
点分布。
莇（2）伯努利实验、二项分布
螄 设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设
——P(A)?p（0?p?1)，此时P(A)?1-p.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的
独立实验为n重伯努利实验。
??n?kn-k螀 P(X?k)???pq（2）?Pk=1注意，k?0,1,2，?n满足条件（1）pk?0，?k?k?1??kn-k（p?q）的展开式中出现p的那一项，我们称随机变量X服从参数到??p??q是二项式
?n??k?nk为n，p的二项分布。
袇（3）泊松分布
蒄 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为
P(X?k)??ke-?k!,k?0,1,2?,其中??0是常数，则称X服从参数为?的泊松分布记为
X~?（?）
芁§3随机变量的分布函数
蕿定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)?P{X?x},-??x??
羇称为X的分布函数
袄分布函数F(x)?P(X?x)，具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 （2）
0?F(x)?1，且F(??)?0,F(?)?1 （3）F(x?0)?F(x),即F(x)是右连续的
羃§4连续性随机变量及其概率密度
概率论与数理统计知识点总结(超详细版)
