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1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1．已知a＝355，b＝444，c＝533，则有［ ］ A．a＜b＜c
B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
?xy?yz?632． 方程组?的正整数解的组数是［ ］
xz?yz?23?A．1
3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数
B．2 C．3 D．4
m的取值范围是［ ］
333
A．0≤m≤1 B．m≥ C． ＜m≤1 D． ≤m≤1
444
4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为
［ ］
D．65π
A．62π B．63π C．64π
5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△ABC－S△ABD｜，
N＝2 S△OAB ，则［ ］
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定
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6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则［ ］ A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0
二、填空题
1．在12，22，32……，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个。
D．a＜0且b＜0
a3?112．已知a是方程x?x??0的根，则5的值等于______． 432a?a?a?a42
3． 设x为正实数，则函数y?x?x?21的最小值是______． x
4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2＝AC·BC，则∠
CAB＝______．
第二试
一、已知∠ACE＝∠CDE＝90°，点B在CE上，CA＝CB＝CD，经过A、C、D三点的圆交
AB于F（如图）交CB于G
求证：F为△CDE的内心
A
C
G
F E
D
B
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x2x5??的二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点为整点，试在二次函数y?10109图像上找出满足y≤|x|的所有整点（x，y），并说明理由。
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三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。
1995年全国初中数学联赛参考答案
第一试
一、选择题
1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有
c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。选C。
利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。
2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组
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?xy?y?63 ① ??x?y?23直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。
3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x?＋x?＝2＞1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x?－x?｜＜1又
b2?4ac|x1?x2|??4?4m?1
|a|有0≤4－4m＜1．
3331
解得 ＜m≤1 但是作为选择题只需取m＝ 代入，得方程的根为1、、，不能组成三
44223
角形，故包括 的A、B、D均可否定，选C
4
4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由
AB2＋AD2＝252＋602＝52×（52＋122）
＝52×132＝(32＋42)×132＝392＋522 ＝BC2＋CD2
故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．
1995年全国初级中学数学联赛试题及规范标准答案（修正版）
