(小学奥数)4-2-7 格点型面积.教师版

由天下分享时间：2024/6/19 0:17:41 加入收藏我要投稿点赞

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4-2-7.格点型面积

例题精讲

模块一、正方形格点问题

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．

那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！

用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．

L我们能发现如下规律：S?N??1．这个规律就是毕克定理．

2毕克定理

若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为S?N?L?1． 2

【例 1】判断下列图形哪些是格点多边形？

⑵⑶⑷

【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形

【例 2】如图，计算各个格点多边形的面积．

⑴

2 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．

方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4?4?16(面积单位)；

图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5?3?15(面积单位)；

图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是5?4?2?10(面积单位)；

.....

⑴⑵⑶⑷⑸⑹....

图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5?3?15(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3?5）?3?2?12(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3?6）?4?2?18(面积单位)．

如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过

程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！

如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．

如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．

⑶⑷18．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹

【例 3】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．

IIII(b)(c)II(a)

2 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能

另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6?4?24；直角三角形Ⅰ的面积是：6?2?2?6；直角三角形Ⅱ的面积是：4?2?2?4；直角三角形Ⅲ面积是4?2?2?4；所求三角形的面积是24?（6?4?4）?10(面积单位)．

方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：5?2?2?5?2?2?10(面积单位)．

【答案】10

【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．

DFA1cmC1cmEB【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF；

另外三个分别是：△ABE、△FEC、△DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为1.5cm2，2cm2，1.5cm2．所以，图中阴影部分的面积为：3?3?（1.5?2?2）?4(cm2)．

【答案】4

【例 5】分别计算图中两个格点多边形的面积．

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【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积

均为10面积单位．

【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格

点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！

在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．

【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．

【巩固】求下列各个格点多边形的面积．

3 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

L12【解析】 ⑴ ∵L?12；N?10，∴S?N??1?10??1?15(面积单位)；

22L10⑵ ∵L?10；N?16，∴S?N??1?16??1?20(面积单位)；

22L6⑶ ∵L?6；N?12，∴S?N??1?12??1?14(面积单位)；

22L10⑷ ∵L?10；N?13，∴S?N??1?13??1?17(面积单位)．

用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．

L我们能发现如下规律：S?N??1．这个规律就是毕克定理．

2【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17

【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？

（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答

【解析】图形内部格点数N?9；图形边界上的格点数L?20 ；根据毕克定理，则S?N?积)．【答案】18

【例 7】右图是一个8?12面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．

HGACBEDFL?1?18(单位面2【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】箭形ABCDEFGH的面积?（8?10?2?1）?4?8?（4?2?1）?2?12?32?2?46(面积单位)．

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【答案】46

【例 8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______

①②【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分

111【解析】 ①的面积为：?2?1??1?1??3?1?3，②的面积也为3?2?2?3。所以两块阴影部分面积相

222等均为3。

【答案】相等

【例 9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？

【考点】格点型面积【难度】4星【题型】解答【解析】图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．

所以图形的面积为：54?19?2?1?62.5(面积单位)．

【答案】62.5

【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？

①⑥⑤②③④ 【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+

为图形周界上格点数．

L-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L27-1)×1=6.5(平方厘米) 2方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．

【答案】6.5平方厘米

【例 10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积

是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？

有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+

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3 【考点】格点型面积【难度】星【题型】解答

【关键词】保良局亚洲区城市小学数学竞赛【解析】要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都

可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．

7所占的面积为：2?15?2?1?8.5；2所占的面积为：24?2?1?11；1所占的面积为：17?2?1?7.5．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5?11?7.5?27．

【答案】27

【例 11】 5?5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，