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1 yP??lsin? （6）
3球C碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角动量为零；球C碰挡板后，质心相对质心参考系仍是静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为?，则三小球对质心P的角动量
222 L?m?lAP ?m?lBP?m?lCP（7）式中lAP、lBP和 lCP分别是
A、B和C三球到质心P的距离，由图1可知
1222 lAP ?l2cos??lsin?2 （8）
912lBP?l2sin2? （9）
942lCP?l2cos2??l2sin2? （10）
9由（7）、（8）、（9）和（10）各式得
2L?ml2?(1?2cos2?) （11）
3在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系，在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球C的冲量J的冲量矩，即有
2lsin??L 3（12）【也可以始终在惯性参考系中考察问题，即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的参考点，则对该参考点(12)式也成立】
J由（11）和（12）式得
??Jsin? (13) 球
ml(1?2cos2?)C相对于质心参考系的速度分量分别为（参考图1）
vCPx???lCPsin????(lsin??|yP|) (14)
vCPy???lCPcos????lcos? (15)
球C相对固定参考系速度的x分量为
vCx?vCPx?vPx （16） 由（3）、（6）、（13） 和 （16）各式得 vCx??J ?v0 （17）
m(1?2cos2?)11
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根据题意有
vCx?0 （18）由（17）和（18）式得
y J?mv0(1?2cos2?) （19） 由（13）和（19）式得
A ??v0sin? （20） lP B O x
球A若先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质心转过???角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过???所需时间
C 1?2 （21） t??图2
在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
?x?vPxt （22） 若
yP??x?xP （23） 则球B先于球和（23）式得
A与挡板碰撞. 由（5）、（6）、（14）、（16）、（18）、（21）、（22）
3 （24） 1?? ??arctan即
??36? (25)
评分标准：
本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分.
解法二
P 如图1所示，建直角坐标系Oxy，x轴与挡板垂直，
12
C 图
A y vAyvBy B vAx?vBx O x
vCyC如有帮助欢迎下载支持
y轴与挡板重合，以vAx、vAy、vBx、vBy、vCx和 vCy分别表示球C与挡板刚碰撞后A、B和
C三球速度的分量，根据题意有
vCx?0 （1）
以J表示挡板作用于球C的冲量的大小，其方向沿x轴的负方向，根据质点组的动量定理有
?J?mvAx?mvBx3?mv 0 （2） 0?mvAy?mvBy?mvCy （3） 以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有
Jlsin??mvAy?lcos??lcos???mvBylcos??mv0lsin? （4） 因为连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有
vAx?vB x vCysin??vBysin??vBxcos? vAxcos??vAysin???vCysin? （7）式中?为杆AB与连线AC的夹角. 由几何关系有
cos??2cos? 1?3cos2? sin??sin? 1?3cos2?解以上各式得
J?mv0(1?2cos2?) vAx?v0sin2? vAy?v0sin?cos? vBx?v0sin2? 13
（5） （6） （7）
（8）
（9）
10）
11）
12）
13）
（（（（如有帮助欢迎下载支持
vBy?0 （14）
vCy??v0sin?cos? （15） 按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A (也可能球B)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作用，系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A、B和C三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心P的速度
vPx?mvAx?mvBx?mvCx2?v0sin2? （16）
3m3mvAy?mvBy?mvCy3m?0 （17）
vPy?这时系统质心的坐标为
xP??lco?s （18）
1yP??lsin? （19）
3不难看出，此时质心P正好在球B的正下方，至球B的距离为yP，而球B相对质心的速度
12v?vsin vBPx?vB?xPx0? （20）
3vBPy?0 （21）
可见此时球B的速度正好垂直BP，故整个系统对质心转动的角速度
??vBPxv0sin? ?yPl（22）
若使球A先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质
心转过π/2角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间
1π2 t?
?14
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（23）
在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
?x?vPxt （24） 若
yP??x?xP （25） A 则球B先于球
y A与挡板碰撞. 由以上有关各式得
P B O x
3 ??arctan （26）
1??即
??36? (27)
C 图2
评分标准：
本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分.
四、（21分）如图所示，虚线小方框是由2n个电容器联成的有限网络；虚线大方框是并联的两个相同的无限网络，此无限网络的结构是：从左到中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右，每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连，直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平
行板真空电容器，其极板面积为S，极板间距为d（d??15
S）。整个电容网
2019全国初中物理竞赛复赛试题含答案
