第3讲 函数的应用
考情解读 (1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现．
(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．
1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
热点一 函数的零点
2
例1 (1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( )
x
1
A．(，1)
2C．(e－1,2)
B．(1，e－1) D．(2，e)
1
cos πx，x∈[0，]，
2
?
(2)(2014·辽宁)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝?1
2x－1，x∈?，＋∞?，?2
1
－1)≤的解集为( )
21247A．[，]∪[，]
43343112B．[－，－]∪[，]
43431347C．[，]∪[，]
34343113
D．[－，－]∪[，]
4334
则不等式f(x
思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)C (2)A
132
解析 (1)因为f()＝ln－4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln 3－1>0，故零
22e－1点在区间(e－1,2)内．
(2)先画出y轴右边的图象，如图所示．
1
∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝.设与曲线交
2于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标．
11
令cos πx＝，∵x∈[0，]，
22π1∴πx＝，∴x＝.
33
1313
令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝.
2434
131
根据对称性可知直线y＝与曲线另外两个交点的横坐标为xC＝－，xD＝－. 243
11
∵f(x－1)≤，则在直线y＝上及其下方的图象满足，
22
1331∴≤x－1≤或－≤x－1≤－， 34434712∴≤x≤或≤x≤. 3443
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；
②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
1
(1)已知函数f(x)＝()x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是( )
4
A．1 B．2 C．3 D．4
1
(2)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0 2A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0 C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C 1 解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点个数， 4 1 而函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C. 4(2)∵f(x)＝2x－log1x在(0，＋∞)上是增函数，又a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，即f(a)＝0， 22∴当0 热点二 函数的零点与参数的范围 ??b，a－b≥1，例2 对任意实数a，b定义运算“?”：a?b＝?设f(x)＝(x2－1)?(4＋x)，若函 ??a，a－b<1. 数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( ) A．(－2,1) B．[0,1] C．[－2,0) D．[－2,1) 思维启迪 先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围． 答案 D 解析 解不等式：x2－1－(4＋x)≥1，得：x≤－2或x≥3，所以，f(x)＝ ??x＋4，x∈?－∞，－2]∪[3，＋∞?，?2 ?x－1，x∈?－2，3?.? 函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点． 如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.
高考数学(理科)二轮复习【专题1】函数的应用(含答案)
