《运筹学教程》第三章习题答案
1. 影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下，资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。又称效率价格。
影子价格是指社会处于某种最优状态下，能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格，是社会对货物真实价值的度量。只有在完善的市场条件下才会出现，然而这种完善的市场条件是不存在的，因此现成的影子价格也是不存在的。市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格，是由供求关系决定的。
2.证明：当原问题约束条件右端变为bi′时， 原问题变为： maxz=∑CiXj
s.t. ∑aijXi≤bi′(i=1,2,3,……,m)
Xj≥0 (j=1,2,3,……,n)
对偶问题为： minp=∑bi′yi s.t. ∑aij yi≥Ci yi≥0
(i=1,2,3,……,m) (j=1,2,3,……,n)
设，当bi变为bi′原问题有最优解（X1′X2′X3′……Xn-1′Xn′）时，对偶问题的最优解为（y1′y2′y3′……yn-1′yn′）,则有：
又因为当原问题有最优解时，对偶问题也有最优解，且相等，则有：
所以
3（1）.minp=6y1 + 2y2
s.t. -y1+2y2≥-3
3y1+3y2≥4 y1,y2≥0
(2)解：令X2=X2′-X2〞，X4= X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0 ，原式化为：
maxz=2X1 +2X2′-2X2〞-5X3 +2X4′-2X4〞 s.t. 2X1 -X2′+X2〞+3X3 +3X4′-3X4〞≤-5
-2X1 +X2′-X2〞-3X3 -3X4′+3X4〞≤5 -6X1 -5X2′+5X2〞+X3 -5X4′+5X4〞≤-6 10X1 -9X2′+9X2〞+6X3 +4X4′-4X4〞≤12 X1, X2′，X2〞，X3, X4′，X4〞≥0
则对偶规划为：.
minp= -5y1′ + 5y1〞-6y2 + 12y3 s.t. 2y1′ -2y1〞-6y2 + 10y3≥2
-y1′ +y1〞-5y2 -9y3≥2 y1′ -y1〞+5y2 + 9y3≥-2 3y1′ -3y1〞+y2 + 6y3≥-5 3y1′ -3y1〞-5y2 + 4y3≥2 -3y1′ +3y1〞+5y2 -4y3≥-2
即：
minp= -5y1′ + 5y1〞-6y2 + 12y3
s.t. 2y1′ -2y1〞-6y2 + 10y3≥2
-y1′ +y1〞-5y2 -9y3=2 3y1′ -3y1〞+y2 + 6y3≥-5 3y1′ -3y1〞+5y2 + 4y3=2
令 y1〞 - y1′= y1，得：
minp= 5y1 -6y2 + 12y3 s.t. -2y1-6y2 + 10y3≥2
y1-5y2 -9y3=2 -3y1+y2 + 6y3≥-5
-3y1-5y2 + 4y3=2
4、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。
maxz?3x1?5x2?s..t?2x1?3x2?x3?2??(1) ?
?2x1?4x2?x3?8??x1,x2,x3?0?minp?2y1?8y2?s..t?2y1?2y2?3???解：其对偶问题为：3y1?4y2?5?
?y1?y2?0?y1,y2?0??y1?y2=0 3y1?4y2=5 ?2y1?2y2=3
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