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长沙理工大学模拟考试试卷
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试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名
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课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011
专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷
一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分）
1.设n阶方阵A,B,C可逆且满足ABC?E，则必有 CBA?E （ ） 2.设x??1,x??2是AX?b的解，则x??1??2是AX?b的解 （ ） 3.若矩阵A的列向量组线性相关，则矩阵A的行向量组不一定线性相关 （ ） 4.设x表示向量x的长度，则
?x??x （ ）
5.设x??1,x??2是AX?b的解，则x??1??2是AX?0的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)
2?141.计算行列式 3130＝ ； 212.若?,?为?X?b,(b?0)的解，则???或???必为 的解；
3.设n维向量组?:?1,?2,?,?m，当m?n时，?一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417
24.设三阶方阵?有3个特征值2，1，-2，则?的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）
21111.
121111211112；
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?x1?x2??a1?x?x?a?2322.若线性方程组?有解，问常数a1,a2,a3,a4应满足的条件
?x3?x4??a3??x4?x1?a43.设?1,?2,?,?s是方程组?X?b的解向量(b?0)，若k1?1?k2?2???ks?s也是的解，则
k1?k2???ks? ；
?x1?x2?2x3?x4?0?4.求齐次线性方程组?2x1?2x2?3x3?3x4?0的基础解系；
?x?x?x?2x?0234?15.已知矩阵A????2231??12????与矩阵相似，求x,y的值； B?????xy??34?2226.设f?x1?x2?5x3?2ax1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型，求a.
四、证明题（10分）：
设向量组?1,?2,?3线性无关，长沙理工大学二手货QQ交易群146 808 417
证明?1,?1??2,?1??2??3线性无关。
长沙理工大学模拟试卷标准答案
课程名称： 线性代数 试卷编号：1
一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分） 1，× 2，× 3，√ 4, × 5, √
二、填空题：(每小题5分，共20分)
1，42；2，?X?0；3，相关，相关；4，4，1，4. 三、计算题（每小题10分，共60分）
2111511111111.
1211=
5211121111215121=5
1121 1112511211121111=5
01000010＝5 0001??1100?a1?2.(Ab)??0110a??2??0011?a??3? ?1001a?4????1100?a1???0110a??2??0011?a?3? ?0000a?a?12?a3?a4?? 若有解，则A的秩与(Ab)的秩相等，即a1?a2?a3?a4?0。 ??1121?r?2r??1121???3.??2034?1r?2?1??3?4r1???0276???r?3??r2???0??4?2?1?????027??4????0 ∴(1) 当??2时，矩阵的秩为2； (2) 当??2时，矩阵的秩为3.
（5分）
（5分）
（2分） （5分） （3分）
121?276??（6分）
00??2??（2分） （2分） 第 1 页（共 3 页）
4.对系数矩阵作作初等行变换
?1?121??1?121???r2?2r1????00?11? ?2?233?r?r?1?112?31?00?11??????1?121??1?103?????r2?(?1)r1?2r2??001?1???001?1?
r3?r2?0000??0000??????x1?x2?3x4得同解方程组 ?
x?0x?x24?3?x1??1???3??x2??1??0??????令 ????，?； 得 ????0??，??????1?? ??xx01?4??????3?????基础解系为：?1??1100?T,?2???3011?
T5.解：∵A与B相似，∴ 特征多项式相同，即 A??E?B??E 亦即 A??E?22??x31y???(22??)(y??)?31x
24?? ?B??E?1??3?(1??)(4??)?6
?(22??)(y??)?31x?(1??)(4??)?6?x??12,y??17
?1a?1???6.解：f的矩阵为 A??a12?
??125??? ∵ f为正定二次型，∴ A的各阶主子式大于0． 即 a11?1＞0，
a11a21a12a22?1aa1?1?a2＞0
1 A?aa?112??a(5a?4)＞0 5?12 第 2 页（共 3 页）
解联立不等式组 1?a＞0 或 a(5a?4)＜0 ??1＜a＜1或 ?45＜a＜0 ??24＜a＜0 5 即当 ?4＜a＜0时，f为正定二次型． 5四、证明题（10分）：
证明：设存在一组数k1,k2,k3使得k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0
?(k1?k2?k3)?1?(k21?k2)?2?k3?3?0，（3分）
又向量组?1,?2,?3线性无关，
?k1?k2?k3?0?因此?k2?k3?0?k1?0,k2?0,k3?0，（7分）
?k3?0?由此可知，只有当k1?0,k2?0,k3?0时，
等式k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0才成立， 即向量组?1,?1??2,?1??2??3线性无关。（10分）
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长沙理工大学线性代数考试试卷及答案
