湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：圆锥曲
线综合题
高考要求 圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整 重难点归纳 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的
(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域 (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值 典型题例示范讲解
2
例1已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C y=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦 (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？ 命题意图 本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力 知识依托 弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识 错解分析 在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的 技巧与方法 对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+
a2与R=x0?a的大小 2解 (1)设圆心k(x0,y0),且y0=2ax0,
2
圆k的半径R=|AK|=(x0?a)2?y0?x0?a2 ∴|MN|=2R2?x0?2x0?a2?x0=2a(定值)
∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化 222222
(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k (x－x0)+(y－y0)=x0+a中，令x=0，得y－2y0y+y0－a2=0，∴y1y2=y02－a2∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项 ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a
又|MN|=|y1－y2|=2a， ∴|y1|+|y2|=|y1－y2| y22222∴y1y2≤0，因此y0－a≤0,即2ax0－a≤0 ∴0≤x0≤222
a 2CoABDa2圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=x0?a2≥a 2且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交 x 1
x2y2例2如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其?mm?1准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||
(1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值
命题意图 本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合
知识依托 直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值
错解分析 在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点 技巧与方法 第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简 第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法
22222
解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a=m,b=m－1,c=a－b=1 ∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0) 故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=
?y?x?1a?±,即x=±m ∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考虑方程组?x2, y2c?1???mm?12消去y得 (m－1)x+m(x+1)=m(m－1)整理得 (2m－1)x+2mx+2m－m=0
22
22
Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上
∴|AB|=|xB－xA|=2=(xB－xA)·2,|CD|=2(xD－xC)
?2m 2m?1∴||AB|－|CD||=2|xB－xA+xD－xC|=2|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·2=|∈［2,5］
(2)由f(m)=
22m22m?2m|·2= (2≤m≤5)故f(m)=，m2m2m1?2m2222m111，可知f(m)=又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈
12m25m2?m［
10242］ ,93故f(m)的最大值为
42102，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5
93例3舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮
弹 设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是
203g千3米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？
命题意图 考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力 知识依托 线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的
2
曲线方程
错解分析 答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，
y又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚 P技巧与方法 通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解
C300析几何问题来求解 对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程
oxBA解 取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示
的直角坐标系 由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、
(－5，23)
由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC| 于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为3x－3y+73=0
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线
x2?y2=1的右支上45 直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10 据已知两点的斜率公式，得kPA=3,所以直线PA的倾斜角为
60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°设发射炮弹的仰角是θ，初速度
v0=
203g，则2v0?sin?10,∴sin2θ=10g32?,∴仰角θ3g?v?cos?v=30° 002例4若椭圆x2y22?2=1(a＞b＞0)与直线lab x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，
求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域 ?解 由方程组?x?y?1?x2y2消去y,整理得 (a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2
)=0
①
??a2?b2?1则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内
有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2
),则有
????4a2?4a2(a2?b2)(1?b2y?)?01?f(0)?a2(1?b2)?0?a2?b2?1???f(1)?b2?a2?a2(1?b2)?0 ????0?b?1 ??0?o1x?0?a2a?122?1??a?b?0?a?b?a?b?0同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为如图所示的阴影部分 学生巩固练习 1 已知A、B、C三点在曲线y=x上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC 3
湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复
