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∴a=4,b=12.
2
2
x2y2∴所求双曲线的方程为-412y2x2答案: -
124=1
=1.
x2y26.(2013年天津卷,文11)已知抛物线y=8x的准线过双曲线2-2ab2
=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲
线的方程为 . 解析:由y=8x准线为x=-2.
2
则双曲线中c=2,
c2==2,a=1,b=3. aa2
所以双曲线方程为x-
y23=1.
答案:x-
2
y23=1
考点四 圆锥曲线与圆的综合问题及解法
1.(2013年福建卷,文20)如图,抛物线E:y=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N. (1)若点C的纵坐标为2,求|MN|; (2)若|AF|=|AM|·|AN|,求圆C的半径.
2
2
解:(1)抛物线y=4x的准线l的方程为x=-1.
2
由点C的纵坐标为2,点C在抛物线E上, 得点C的坐标为(1,2), 所以点C到准线l的距离d=2, 又|CN|=|CO|=所以|MN|=22y045,
=2CN?d2,y0）,
25?4=2.
(2)设C（
则圆C的方程为（x-
2y044y02）+(y-y)=+y0,
162
20
即x-
2
2y02x+y-2y0y=0.
2
由x=-1,
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得y-2y0y+1+
2
2y02=0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则
2??y0?22V?4y?41??2y???00?4?0,2??? ?2y0?yy??1.12??2由|AF|=|AM|·|AN|,
2
得|y1y2|=4,
2y02所以
+1=4,
解得y0=±6,此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为（从而|CO|=
2
33,6）或（,-6）, 2233, 4|CO|=
33, 233. 2即圆C的半径为
2.(2013年新课标全国卷Ⅱ,文20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2(1)求圆心P的轨迹方程;
2,在y轴上截得线段长为23.
(2)若P点到直线y=x的距离为
22,求圆P的方程.
解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r. 由题设y+2=r,x+3=r,
2
2
2
2
从而y+2=x+3.
2
2
故P点的轨迹方程为y-x=1.
2
2
(2)设P(x0,y0).
由已知得x0?y022
=2
2. 2又P点在双曲线y-x=1上,
??x0?y0?1,从而得? 22??y0?x0?1.精品资料
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由???x0?y0?1,?x0?0,得? 此时,圆P的半径r=3. 22??y0?x0?1.?y0??1.??x0?y0??1,?x0?0,由?得? 此时,圆P的半径r=3. 22y?1.??0?y0?x0?1.故圆P的方程为x+(y-1)=3或x+(y+1)=3.
2
2
2
2
3.(2013年重庆卷,文21)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=22,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两
点,
AA?=4.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆 上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
??c?解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则
a2222+2b=1,从而e+
2
4b2=1,
又e=
224,故b=
1?e22
b2=8,从而a=
1?e22x2y2=16.故该椭圆的标准方程为+
1682
2
=1.
x2(2)由椭圆的对称性,可设Q(x,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|=(x-x)+y=x-2xx+x+8×（1-）162
2
0
0
0
20=
12(x-2x)-x0+8(x∈[-4,4]). 220
2
设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点, 因此,当x=x1时|QM|取最小值,
又x1∈(-4,4),所以当x=2x0时|QM|取最小值,从而x1=2x0,且|QP|=8-x0.
2
2
2由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,
?x12?11所以S=|2y||x-x|=×28??1??|x|=21622??1
1
0
0
?4?x?x2020=2·?x?2?4.
?20?2当x0=±2时,△PP′Q的面积S取得最大值22.
22,0),半径|QP|=8?x0此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±=2
6,
2
因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+2)+y=6,(x-2)+y=6.
2
2
精品资料
圆锥曲线与方程专题：圆锥曲线的综合问题(教师版)
