2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试 （北京卷）
数学（理工类）
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．若集合A?xx?2，B?x?2,0,1,2，则AIB? （A）?0，1?（B）?-1，0，1?（C）?-2，0，1?（D）?-1，0，1，2? i的共轭复数对应的点位于 1?i（A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限
3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）．
????2.在复平面内，复数
1 25B．
67C．
67D．
12A．
4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）．
A．32f B．322f C．1225f D．1227f
5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）． A．1 B．2 C．3 D．4
rrrrrrrrb均为单位向量，则“a?3b?3a?b”是“a?b”的 6.设a,
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
7. 在平面直角坐标系中，记d为点Pcos?,sin?到直线x?my?2?0的距离.当?,m变
??化时，d的最大值为 （A）1
8. 设集合A???x,y?|x?y?1,ax?y?4,x?ay?2?，则
（B）2 （C）3
（D）4
?A?对任意实数a，?2,1??A?B?对任意实数a，?2,1??A ?C?当且仅当a?0时，?2,1??A?D?当且仅当a?
二.填空
（9）设?an?是等差数列，且a1?3，a2?a5?36，则?an?的通项公式为。
（10）在极坐标系中，直线?cos???sin??a(a?0)与圆??2cos?相切，则a?。 （11）设函数f?x??cos??x?则?的最小值为。
（12）若x,y满足x?1?y?2x，则2y?x的最小值是。
（13）能说明“若f?x??f?0?对任意的x??0,2?都成立，则f?x?在?0,2?上是增函数”为假命题的一个函数是。
3时，?2,1??A 2?????????0?。若f?x??6???f??对任意的实数x都成立，?4?x2y2x2y2（14）已知椭圆M:2?2?1?a?b?0?，双曲线N:2?2?1。若双曲线N的两条渐近
abmn线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为。
三．解答题 （15）（本小题13分）
1在VABC中，a?7，b?8，cosB??。
7（Ⅰ）求?A；
（Ⅱ）求AC边上的高。 （16）（本小题14分）
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1?平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点，AB?BC?5,AC?AA1?2.
（I）求证：AC?平面BEF;
（II）求二面角B?CD?C1的余弦值；
（III）证明：直线FG与平面BCD相交.
（16）（本小题12分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 （1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“?k?1”表示第k类电影得到人们喜欢，“?k?0” 表示第k类电影没有得到人们喜欢（k?1,2,3,4,5,6）.写出方差D?1,D?2,D?3,D?4,D?5,D?6的大小关系
（18）（本小题13分）
2x设函数f?x????ax??4a?1?x?4a?3??e，
（1）若曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线方程与x轴平行，求a； （2）若f?x?在x?2处取得极小值，求a的取值范围． （19）（本小题14分）
已知抛物线C:y2?2px经过点P?1,2?．过点Q?0,1?的直线l与抛物线C有两个 不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （1）求直线l的斜率的取值范围；
uuuuruuuruuuruuur11（2）设O为原点，QM??QO，QN??QO，求证：?为定值．
??20.（本小题14分）
设n为正整数，集合A???|???t1,t2,...,tn?,tk??0,1?,k?1,2,...,n?.对于集合A中的任意元素
???x1,x2,...,xn?和???y1,y2,...,yn?，记
1M??,?????x1?y1??x1?y1??x2?y2??x2?y2?...??xn?yn??xn?yn?? 2??I?当n?3时，若???1,1,0?,???0,1,1?，求M??,??和M??,??的值；
?II?当n?4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素?,?，当?,?相同时，
M??,??是奇数；当?,?不同时，M??,??是偶数.求集合B中元素个数的最大值；
?III?给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素?,?，
M??,???0.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由.
答案： 一. 选择题 1.【答案】A
2.【答案】D
11?i1?i11z?????i， 1?i(1?i)(1?i)2221i1的共轭复数在第四象限， ?，故
221?i故选D
3.【答案】B
【解析】根据程序框图可知，开始k?1，s?1，
111执行s?1???1???，k?2，此时k?3不成立，循环，
1?121152s????1???，k?3，此时k?3成立，结束， 21?265输出s?．
6故选B．
4.【答案】D
则z?【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以f为首项，122为公比的等比数列， 故第八个单音的频率为f?故选D．
??1228?1?1227f．
【北京卷】2020年全国统一高考数学(理)模拟试题(含答案解析)
