3-8．对于多元线性回归模型，证明： （1）（2）
?ei?0
0??e??(??yii?x?????x)e?0 ??11ikkii3-9．为什么从计量经济学模型得到的预测值不是一个确定的值？预测值的置信区间和置信度的含义是什么？在相同的置信度下如何才能缩小置信区间？为什么？
3-10．在多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？
3-11．设有模型：y??0??1x1??2x2?u，试在下列条件下： （1）?1??2?1 （2）?1??2
分别求出?1和?2的最小二乘估计量。 3-12．多元线性计量经济学模型
yi??0??1x1i??2x2i??????kxki??i i?1,2,?,n (2.11.1) 的矩阵形式是什么？其中每个矩阵的含义是什么？熟练地写出用矩阵表示的该模型的普通最小二乘参数估计量，并证明在满足基本假设的情况下该普通最小二乘参数估计量是无偏和有效的估计量。
3-13．有如下生产函数：lnX?1.37?0.632lnK?0.452lnL
（0.257） (0.219)
R2?0.98 Cov(bK,bL)?0.055
其中括号内数值为参数标准差。请检验以下零假设： （1）产出量的资本弹性和劳动弹性是等同的； （2）存在不变规模收益，即????1 。
3-14．对模型yi??0??1x1i??2x2i????kxki?ui应用OLS法，得到回归方程如下：
????x???x?????x ?i??y011i22ikki?i与y?i不相关，即：要求：证明残差?i?yi?y3-15．
???yii?0。
3-16．考虑下列两个模型：
Ⅰ、yi??1??2x2i??3x3i?ui Ⅱ、(yi?x2i)??1??2x2i??3x3i?ui?
? ??1 ，?? ，??3???2???1??要求：（1）证明：?321?i?u?i? （2）证明：残差的最小二乘估计量相同，即：u（3）在何种情况下，模型Ⅱ的拟合优度R2会小于模型Ⅰ拟合优度R1。
3-17．假设要求你建立一个计量经济模型来说明在学校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人数，以便决定是否修建第二条跑道以满足所有的锻炼者。你通过整个学年收集数据，得到两个可能的解释性方程：
22??125.0?15.0X?1.0X?1.5X R2?0.75 方程A：Y123??123.0?14.0X?5.5X?3.7X R2?0.73 方程B：Y124其中：Y——某天慢跑者的人数
X1——该天降雨的英寸数 X2——该天日照的小时数
X3——该天的最高温度（按华氏温度） X4——第二天需交学期论文的班级数
请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？
（2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得到不同的符号？
3-18．对下列模型：yi????xi?2zi?ui （1）
yi????xi??zi?ui （2）
求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计值作比较：
（3）yi????xi??zi?ui ，你认为哪一个估计值更好？
3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括号内为标准差）：
??10.6?28.4X?12.7X?0.61X?5.9X Yi1i2i3i4i（2.6） (6.3) (0.61) (5.9) R?0.63 n?35
要求：
（1）试判定每项结果对应着哪一个变量？ （2）对你的判定结论做出说明。 （三）基本计算类题型
3-20．试对二元线性回归模型：Yi??0??1X1i??2X2i?ui ，（i?1,2,?,n）作回归分
2?,??,??； 析，要求：（1）求出未知参数?0,?1,?2的最小二乘估计量?012（2）求出随机误差项u的方差?2的无偏估计量； （3）对样本回归方程作拟合优度检验； （4）对总体回归方程的显著性进行F检验； （5）对?1,?2的显著性进行t检验；
（6）当X0?(1,X10,X20)?时，写出E(Y0|X0)和Y0的置信度为95%的预测区间。 3-21．下表给出三变量模型的回归结果： 方差来源 来自回归来自残差总离差(TSS)
平方和（SS）
65965 _— 66042
自由度（d.f.）
— — 14
平方和的均值(MSS)
— —
要求：（1）样本容量是多少？
（2）求RSS？
（3）ESS和RSS的自由度各是多少？ （4）求R2和R？
（5）检验假设：X2和X3对Y无影响。你用什么假设检验？为什么？ （6）根据以上信息，你能否确定X2和X3各自对Y的贡献吗？ 3-22．下面给出依据15个观察值计算得到的数据：
2Y?367.693 ， X2?402.760 ，X3?8.0 ，?yi?66042.269
2?x22i2?84855.096 ，?x3i?280.0 ， ?yxi2i?74778.346
?yxi3i?4250.9 ，
?x2ix3i?4796.0
其中小写字母代表了各值与其样本均值的离差。 要求：（1）估计三个多元回归系数；
（2）估计它们的标准差；并求出R2与R？ （3）估计B2、B395%的置信区间；
（4）在??5%下，检验估计的每个回归系数的统计显著性（双边检验）； （5）检验在??5%下所有的部分系数都为零，并给出方差分析表。 3-23．考虑以下方程（括号内为估计标准差）：
2??8.562?0.364P?0.004P?2.560U Witt?1t（0.080） (0.072) (0.658) n?19 R?0.873
其中：W——t年的每位雇员的工资和薪水
P——t年的物价水平 U——t年的失业率
2要求：（1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；（尽量在做本题之前不参考结果）
（2）讨论Pt?1在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论；Pt?1是否应从方程中删除？为什么？
3-24．下表是某种商品的需求量、价格和消费者收入十年的时间序列资料： 年份 价格1 23.56 2 24.44 3 62360 32.07 4 64700 32.46 5 67400 31.15 6 64440 34.14 7 68000 35.30 8 72400 38.70 9 75710 39.63 10 70680 46.68 需求量59190 65450 收入76200 91200 106700 111600 119000 129200 143400 159600 180000 193000 要求：（1）已知商品需求量Y是其价格X1和消费者收入X2的函数，试求Y对X1和X2的最
????X???X ???小二乘回归方程：Y01122（2）求Y的总变差中未被X1和X2解释的部分，并对回归方程进行显著性检验；
?，??进行显著性t检验。 （3）对回归参数?123-25．参考习题2-28给出的数据，要求：
（1）建立一个多元回归模型，解释MBA毕业生的平均初职工资，并且求出回归结果； （2）如果模型中包括了GPA和GMAT分数这两个解释变量，先验地，你可能会遇到什么问题，为什么？
（3）如果学费这一变量的系数为正、并且在统计上是显著的，是否表示进入最昂贵的商业学校是值得的。学费这个变量可用什么来代替？
3-26．经研究发现，学生用于购买书籍及课外读物的支出与本人受教育年限和其家庭收入水平有关，对18名学生进行调查的统计资料如下表所示： 学生购买书籍及课外受教育年限 X1（年） 家庭月可支配收入X2（元/月） 171.2 174.2 204.3 218.7 219.4 240.4 273.5 294.8 330.2 333.1 366.0 350.9 357.9 359.0 371.9 435.3 523.9 604.1 序号 读物支出Y（元/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 要求：
450.5 507.7 613.9 563.4 501.5 781.5 541.8 611.1 1222.1 793.2 660.8 792.7 580.8 612.7 890.8 1121.0 1094.2 1253.0 4 4 5 4 4 7 4 5 10 7 5 6 4 5 7 9 8 10 （1）试求出学生购买书籍及课外读物的支出Y与受教育年限X1和家庭收入水平X2的估计
????X???X ???的回归方程：Y01122（2）对?1,?2的显著性进行t检验；计算R和R；
（3）假设有一学生的受教育年限X1?10年，家庭收入水平X2?480元/月，试预测该学生全年购买书籍及课外读物的支出，并求出相应的预测区间（α=0.05）。 3-27．根据100对(x1，y)的观察值计算出：
22??x21?12
??y???9 ?y?x2?30
要求：
计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
