第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )
解析：对于A，x＋y＝1表示一个整圆；对于B，x－y＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x＞0，y＞0.
答案：C
2．方程(x－4)＋(y－4)＝0表示的图形是( ) A．两个点 C．两条直线
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B．四个点 D．四条直线
???x－4＝0，?x＝±2，??x＝2，??x＝2，??x＝－2，??x＝－2，?????解析：由已知2所以即或或或? ?y－4＝0，?y＝±2，??y＝2，??y＝－2??y＝2，?y＝－2.???
答案：B
3．方程x＋xy＝x表示的曲线是( ) A．一个点 C．两条直线
22
B．一条直线
D．一个点和一条直线
解析：由x＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0. 由此知方程x＋xy＝x表示两条直线． 答案：C 4．方程y＝
|x|
表示的曲线为图中的( ) x2
2
A B C D
- 1 -
|x|
解析：y＝，x≠0，为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B.
x21
又因为当x>0时，y＝>0；
x1
当x<0时，y＝－>0，所以排除D.
x答案：C
5．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 C.
B．x2＋y2＝9 D．x2＝16y
x2y2
25＋9
＝1
解析：因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差为8，
x2y2
所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，方程为－＝1(x≥4)．
164
A：直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意；
B：x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意； C：
x2y2
25
＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意； 9
D：方程代入B.
答案：B
x2y2
16－9
＝1，可得y－
y2
9
＝1，即y2－9y＋9＝0，所以y＝3，满足题意．故选
二、填空题
6．已知点A(a，2)既是曲线y＝mx2上的点，也是直线x－y＝0上的点，则m＝________． 解析：根据点A在曲线y＝mx2上，也在直线x－y＝0上，
????2＝ma2，?则所以?1 ?a－2＝0，??m＝.
?
2
1答案： 2
7．已知A (0，1)，B(1，0)，则线段AB的垂直平分线的方程是________．
解析：设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上任意一点，也就是点M属于集合P＝{M||MA|＝|MB|}，
由两点间距离公式得x2＋（y－1）2＝（x－1）2＋y2，化简得，y＝x. 答案：y＝x
8．下列命题正确的是________(填序号)．
- 1 -
a＝2，
①方程
xy－2
＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；
②到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；
③曲线2x－3y－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0. 答案：③ 三、解答题
9．方程x(x－1)＝y(y－1)所表示的曲线C.若点M(m，2)与点N?求m，n的值．
解：将点M(m，2)与点N?
2
2
2
2
2
2
?3?
，n?在曲线C上，?2?
?3?
，n?代入方程 ?2?
x2(x2－1)＝y2(y2－1)，
m（m－1）＝2×1，??
得?3?1?2所以m＝±2， 2
－×＝n（n－1），????4?4?n＝±或±12
3. 2
2
2
10．求方程(x＋y－1)x－1＝0所表示的曲线．
??x＋y－1＝0，
解：依题意可得?或x－1＝0，
?x－1≥0?
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
综上可知，原方程所表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)和直线x＝1.
B级 能力提升
1．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示( )
A．过点P且垂直于l的直线 B．过点P且平行于l的直线 C．不过点P但垂直于l的直线 D．不过点P但平行于l的直线 答案：B
?1?22
2．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)?y－?≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)＋(y－1)≤1}，则
?
x?
A∩B所表示的平面图形的面积为________．
答案：
π 2
3．已知P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)的交点，求证：点P在曲线f(x，y)
- 1 -
＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
证明：因为P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，
所以P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，且P在曲线g(x，y)＝0上， 即g(x0，y0)＝0，
所以f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0， 所以点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
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高中数学人教A版选修2-1习题：第二章2.1-2.1.1曲线与方程 Word版含答案
