《高等数学》备课笔记
安徽省商贸职业技术学院基础部
叶迎春
第一章 函数、极限与连续
内容提要 函数是微积分学研究的主要对象。本章在复习与补充函数相关知识的基础上，介绍了函数的三种分类方法。
教学目的 理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数等概念，掌握函数的基本性质，理解连续函数和可微函数的概念。
重点 函数和复合函数的概念，连续函数和可微函数的概念。 难点 连续函数和可微函数的概念。 总课时 4课时
一、函数的概念与性质 1.函数的概念
对应法则
定义域
例1 求下列函数的定义域. 函数 解析法 表示法 表格法 图像法 值域 一对一 xy： 几对一 一对一f 几对一 １．分式，分母必须不等于零； ２．偶次根式，被开方式必须大于等于零； ３．对数，真数必须大于零； ４．正切符号下的式子必须不等于k??（k?Z）， 2余切符号下的式子必须不等于k?（k?Z）； ?５．反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1， 反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1； ６．表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集； ７．分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。 f(x)?x2?16 1f(x)??ln(2x?4) 3?xf(x)?arcsin
函数有定义的条件 x2?16?0 定义域 (??,?4]?[4,??) (?2,3) [?3,1] 1
1?x 2?3?x?0 ??2x?4?01?x?1??1 2?x2f(x)???3x?0 x?0x?0或x?0 (??,0)?(0,??) 例2 求函数值． f(2) f(a) f(x?1) 1 函数值 f(?) 函数 x21111x f?x?? 221?x251?ax?2x?21?x2
2.函数的性质
有界性 一般地，在区间(??,??)内是有界的函数有：y?sinx，
y?cosx，y?arctanx，y?arccotx等。
奇偶性 例如，函数f(x)?x4?3x2?5是偶函数，函 f?x??4x?cosx即非奇函数，也非偶函数，数 1f?x???e?x?ex?是奇函数。
性 2质 ［0,??)上是单调增加的，在区单调性 例如，函数y?x2在区间
间(??,0］上是单调减少的。 周期性 例如，函数y?sinx,y?cosx都是以2?为周期的周期函
数，y?tanx,y?cotx都是以?为周期的周期函数。
3．复合函数 中间变
u
f
? 自变量 y?f[?(x)]
x y
若u???x?的值域或其部
分包含在y?f?u?的定义 域中
例如， 已知y?eu，u?5?x2，由于y?eu的定义域(??,??)，u?5?x2的值域[5,??)，所以将u?5?x代入y?e得它们组成的复合函数y?e
例3 指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。 函数 复合过程 y?sinu,u?5x?4 y?sin?5x?4?
2u5?x2．
2
y?lnlnx y?lnu,u?v,v?lnx 4．初等函数
首先，介绍基本初等函数。函数
（1）y?c；
（2）y?x?（?为任意实数） （3）y?ax?a?0,a?1? （4）y?logax?a?0,a?1?
（5）y?sinx，y?cosx，y?tanx，y?cotx，y?secx，y?cscx （6）y?arcsinx，y?arccosx，y?arctanx，y?arccotx
统称为基本初等函数，它们是微积分中所研究对象的基础，应很好地掌握它的定义域、值域、图象和性质。 名称 表达式 定 义 域 图 例 常数函数 性 质 y?c (??,??) 1．偶函数； 2．有界。 ??0 1．图象都过(0,0)和(1,1)点； 2．在[0,??)内单调增加。 幂 函 数 y?x? （?为任意实数） 随?值的不同，y?x???0 1．图象都过(1,1)点； 2．在(0,减少。 的定义域也不同 ??)内单调a?1 1．全部图象在x轴上方； 2．图象都过(0,1)点； 3．函数单调增加。 指数函数 y?ax ?a?0,a?1? (??,??) 0?a?1 1．全部图象在x轴上方； 2．图象都过(0,1)点； 3．函数单调减少。 3
a?1 1．全部图象在侧； y轴右0)2．图象都过(1,对数函数 ?a?0,a?1? y?logax (0,??) 0?a?1 点； 3．函数单调增加。 1．全部图象在y轴右侧； 2．图象都过(1,0) 正弦函数 y?sinx (??,??) 点； 3．函数单调减少。 1．奇函数； 2．周期T?2?； 3．有界； 4．在????2k?,??2k???2?2??上单调增加； 在???2k?,3??2k?????22? 余弦函数 y?cosx (??,??) 上单调减少。 1．偶函数； 2．周期T?2?； 3．有界； 4．在[(2k?1)?,2k?]上单调增加； 在[2k?,(2k?1)?]上单调减少。 1．奇函数； 2．周期T??； 正切函数 y?tanx ?xx?k???,k?z? 2???3．在????k?,?k???22?上单调增加。 1．奇函数； 2．周期T??； 3．在(kz,(k?1)z)上 单调减少。 余切函数 y?cotx ?xx?kz,k?z? 4
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