2020高考数学冲刺训练 教师讲义
(二)数 列
1.(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于( )
A.16 B.8 C.4 D.2 答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
2.(2019·榆林模拟)在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且满足a3＋S5＝12，a4＋S7＝24，则a5＋S9等于( ) A.24 B.32 C.40 D.72 答案 C
解析 ∵a3＋S5＝6a3＝12，a4＋S7＝8a4＝24， ∴a3＝2，a4＝3，∴a5＝4， ∴a5＋S9＝10a5＝40.
3.(2019·肇庆检测)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列，则S8等于( )
A.－20 B.－18 C.－10 D.－8 答案 D
解析 等差数列{an}的公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列， 可得a23＝a1a4，
即为(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8， 1
则S8＝8×(－8)＋×8×7×2＝－8.
2
4.(2019·河南百校联盟考试)已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}的前12项之和为( )
A.－144 B.80 C.144 D.304 答案 D
解析 ∵a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40，∴d＝－8，
1
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∴an＝40－8n.
??40－8n，n≤5，
∴|an|＝|40－8n|＝?
?8n－40，n≥6，?
5×?32＋0?7×?8＋56?
∴前12项之和为＋
22＝80＋224＝304.
5.(2019·毛坦厂中学联考)已知等差数列{an}满足a3＝3，a4＋a5＝a8＋1，数列{bn}满足bnan＋1an＝an＋1－an，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对于任意的a∈[－2,2]，n∈N*，不等式Sn<2t2＋at－3恒成立，则实数t的取值范围为( ) A.(－∞，－2]∪[2，＋∞) C.(－∞，－1]∪[2，＋∞) 答案 A
解析 由题意得a4＋a5＝a8＋a1＝a8＋1， a3－a1
则a1＝1，等差数列{an}的公差d＝＝1，
2∴an＝1＋(n－1)＝n. 由bnan＋1an＝an＋1－an， 1111
得bn＝－＝－，
anan＋1nn＋1
1??11??11??1－1??1－1?1?∴Sn＝?1－2?＋?2－3?＋?3－4?＋…＋?n－1n?＋?nn＋1?＝1－，
????n＋11
则不等式Sn<2t2＋at－3恒成立等价于1－<2t2＋at－3恒成立，
n＋1而1－
1
<1， n＋1
B.(－∞，－2]∪[1，＋∞) D.[－2,2]
∴问题等价于对任意的a∈[－2,2]，n∈N*,2t2＋at－4≥0恒成立. 设f(a)＝2t2＋at－4，a∈[－2,2]，
2???f?2?≥0，?t＋t－2≥0，
则?即?
2
???f?－2?≥0，?t－t－2≥0，
解得t≥2或t≤－2.
2
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6.(2019·淄博实验中学诊断)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10等于( )
A.128 B.256 C.512 D.1 024 答案 B
解析 ∵Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)， n＝1时，a1＋a2＝2a1－1，a1＝2，a2＝1. n≥2时，Sn＝2Sn－1－1，∴an＋1＝2an.
∴数列{an}从第二项开始为等比数列，公比为2. 则a10＝a2×28＝1×28＝256.
7.(2019·南充质检)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝A.－3 B.0 C.3 D.答案 A
解析 因为an＋1＝
an－33an＋1
(n∈N*)， 3 2
an－3
(n∈N*)，则a56等于( ) 3an＋1
所以a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，a6＝3，…， 故此数列的周期为3. 所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－3.
8.《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸，头圈一尺三.逐节多三分，逐圈少分三.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( ) A.72.705尺 C.61.905尺 答案 B
解析 因为每节竹间的长相差0.03尺，
设从地面往上，每节竹长为a1，a2，a3，…，a30，
所以{an}是以a1＝0.5为首项，以d1＝0.03为公差的等差数列， 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺，
3
④
①
②
③
B.61.395尺 D.73.995尺
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设从地面往上，每节圈长为b1，b2，b3，…，b30，
所以{bn}是以b1＝1.3为首项，d＝－0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是
30×2930×29
S30＝?30×0.5＋×0.03?＋?30×1.3＋×?－0.013??＝61.395(尺).
22????
9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为( ) A.12 B.9 C.6 D.18 答案 D
解析 因为S3－S2＝a3，
所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3， 3
设等比数列{an}的公比为q，则a1＝，
q?q－1?由于{an}的各项为正数，所以q>1. a4＋3a2＝a1q3＋3a1q
3
＝a1q(q2＋3)＝q(q2＋3)
q?q－1?43?q2＋3??
q－1＋＋2?＝＝3?≥18， q－1???q－1当且仅当q－1＝2，
即q＝3时，a4＋3a2取得最小值18.
10.已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1，记它们的cn1
公共项由小到大排成的数列为{cn}，令xn＝，则的取值范围为( )
1＋cnx1…xn－1xnA.[1,2)
B.(1，e) 3?D.??2，e?
?32?C.?,e3? ?2?答案 C
解析 由题意知，{an}，{bn}的共同项为2,8,32,128，…，故cn＝22n－1. cn由xn＝，
1＋cn
4
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11得＝1＋， xncn
1111
1＋??1＋?…?1＋?. ＝?
x1…xn－1xn?c1??c2??cn?1
令Fn＝，
x1…xn－1xn则当n≥2时，
Fn1
＝>1， Fn－1xn
故数列{Fn}是递增数列， ∴
13
≥.
x1…xn－1xn2
∵当x>0时，ln(1＋x) ?1＋1??1＋1?…?1＋1?? 则ln???c??c??c?? 1 2 n 1111＋?＋ln?1＋?＋…＋ln?1＋? ＝ln??c??c??c? 1 2 n 111<＋＋…＋ c1c2cn111＝＋3＋…＋2n1 222－1??1?n?11－ 2??22??22＝<＝， 1131－1－44111 1＋??1＋?…?1＋? 1 11.(2019·成都模拟)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋a3＋…＋ 2an>a1a2a3…an的最大正整数n的值为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 答案 C 1 解析 ∵正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3， 2 5 22
板块5 高考22题逐题特训 专题1 12+4分项练2 数 列(教师讲义)
