自 测 题十二(2005) 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题4分，共40分） 1．[4分]函数z?x2?y2?2xy?4x?8y的驻点是 2．[4分]函数f(x,y)在点(x0,y0)偏导数存在是f(x,y)在点(x0,y0)可微的 条件 t1t?，y?sint，z?sin上相应于t?处的切线方程是 22224．[4分]设D:x??,y?1，则??(x?siny)d?? 3．[4分]曲线x?cos2D5．[4分]设任意项级数?an?1?n，若an?an?1，且liman?0，则该级数是 n??A．必是条件收敛 B．必是绝对收敛 C．必发散 D．可能收敛，可能发散 6．[4分]设L是从O(0,0)到点A(1,1)的直线段，则与曲线积分I不相等的积分是 1. A．C．101??eLx2?y2ds ??e22x2dx B．?e0102y2dy 0erdr D．?er2dr 7．[4分]设L是由?y?x2及y?1所围成的区域D的正向边界，则?L(xy?x3y3)dx?(x2?x4y2)dy? (?1)n2nx的收敛区间为 8．[4分]级数?nn?19．[4分]微分方程xy(y?xxy?)?x?yy?的通解为 10．[4分]以y?2ecos3x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 二、解答下列各题（每小题6分，共30分） 1.[6分]计算曲线积分到???/2的一段 ?L式中L由极坐标方程r?2?sin?所表示的曲线上从??0(x2?y2)dx?2xydy，y?2z?z22.[6分]设z?f(x?e?1,)?xy，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数， 求， x?y?y?xx?3?x?0?3.[6分]设f(x)??，写出以6为周期的f(x)的傅立叶级数在[-3，3]上的和函数s(x)?2?2x/30?x?3y的表达式。 4．[6分]求微分方程y???y?e?1的通解 5．[6分]在球面x?y?z?a上，求满足z?x?y的那部分面积(a?0) 三、解答下列各题（每小题8分，共16分） 1． [8分]求由x2?z2?a2,x?y?a,x?y??a,x?y?a,x?y??a(a?0)所围成的立体的体积 2222222x?z?1?x22． [8分]计算曲面积分??(y?z)dzdx?zdxdy，其中?是由平面曲线?对应于x?0,z?0的部y?0??分绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面，取上侧。 2四、解答下列各题（每小题7分，共14分） ?x2y222x?y?0?21．[7分]试讨论函数f(x,y)??x?y2在点O(0,0)处的连续性和偏导数存在性 ?0x2?y2?0??n2?1n2．[7分]求幂级数?nx的收敛区间及和函数 2?n!n?01 自 测 题十三(2006) 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题3分，共36分） 1．[3分]若z?f(x,y)在P(x0,y0)可微，则f(x,y)在P(x0,y0)处沿任何方向的方向导数 A．必定存在 B．一定不存在 C．不一定存在 D．仅在x和y方向存在 ?xyx2?y2?0?222．[3分]函数f(x,y)??x?y在点O(0,0)处 ____________ 22?x?y?0?0 A．连续 B．偏导数存在 C．可微 D．全不对 3．[3分]曲面z?x2?y2在点（－1，2，5）处的切平面方程是 A．2x?4y?z?11 B．?2x?4y?z??1 C．2x?4y?z??5 D．2x?4y?z??15 4．[3分]设D:x2?y2?4，则??(1?3xy)d?? 5．[3分]改变积分次序?dy?23D6?yyf(x,y)dx? ______________ 3x46?x2232A．?dx?f(x,y)dy B．?dx?f(x,y)dy??dx?223xf(x,y)dy C． ?34dx?6?x2f(x,y)dy D． ?dx?2?36?xxf(x,y)dy 6．[3分]积分I????f(x,y,z)dxdydz（?是x2?y2?1及z?1,z?2围成）化为柱坐标下的三次积分为 ___________________ 7．[3分]设L是从A(1,0)到B(-1,2)的线段，则曲线积分?L(x?y)ds? A．2 B．22 C．2 D．0 18．[3分]把f(x)?展开为x的幂级数，其收敛区间为 (1?2x)(1?3x)9．[3分]已知级数?an的前n项部分和为Sn?n?1?2n，则an? n?1210．[3分]微分方程y??(2x?1)y满足条件y(0)?2的特解是 11．[3分]设y1?x,y2?x?sinx,y3?x?cosx是二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则该方程的通解为（其中a,b为常数） A．acosx?bx B．ax?bsinx C．acosx?bsinx D． acosx?bsinx?x 12．[3分]微分方程y???2y?10y?ecos3x的一个特解应具有的形式是（其中a,b为常数） A．ex(acos3x?bsin3x) B．ex(acos3x?bxsin3x) C．ex(axcos3x?bsin3x) D． xex(acos3x?bsin3x) 二、解答下列各题（每小题6分，共30分） dx?dy1．[6分]计算曲线积分?，式中L是以（1，0），（0，1），（－1，0），（0，1）为顶点的正方形闭路，Lx?y方向为逆时针。 2．[6分]将f(x)?x(0?x??)展成正弦级数。 xn3．[6分]求幂级数?的和函数。 n?1n?04．[6分]求微分方程xy??y?cosx的通解 ?xy?z?2z5．[6分]设z?xf()，求, x?x?y?x三、解答下列各题（每小题10分，共20分） 2 1．[10分]分别用二重积分和曲面积分表示球面x2?y2?z2?a2包含在柱面x2?y2?a2内那部分（记为?）的面积，并求该面积。 2．[10分]计算??xdydz?zdxdy，其中?为圆柱面x2?y2?a2被平面y?0及y?h(h?0)所截出部分的内侧。 ?四、解答下列各题（每小题7分，共14分） 1．[7分]在椭球面4x2?y2?z2?4的第一卦限部分上求一点，使得椭球面在该点的切平面、椭球面及三个坐标平面所围成在第一卦限部分的立体的体积最小。 ???0,an?0?an,an?02．[7分]若?an绝对收敛，记pn?,qn?,证明?pn和?qn均收敛，并写出三个级数a,a?00,a?0nnnn?1n?1n?1??之间的关系。 二00七 级 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题3分，共30分） ?xyx2?y2?0?221．函数f(x,y)??x?y在原点O(0,0)处间断的原因是 ?0x2?y2?0?A．原点无定义 B．在原点极限存在但不等于该点函数值 C．在原点无极限 D．以上三个都不对 2．函数z?f(x,y)在点P(x0,y0)可微是它在该点处沿任何方向的方向导数存在的 A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．以上三个都不对 3．设f(x,y)在点(a,b)处偏导数存在，则limx?0f(a?x,b)?f(a?x,b)? x1A．2fx?(a,b) B．fx?(a,b) C．fx?(2a,b) D．fx?(a,b) 24．级数?n?2?(?1)nn?(?1)n是条件收敛还是绝对收敛？ 5．设?为柱面x2?y2?R2被z?0,z?3所截部分，则??xyzdS? ?y26．设曲线L是椭圆x??1，其周长为a（已知），则曲线积分?(4x2?y2)ds? L47．将ln(1?9x2)展开为x的幂级数，其收敛半径R＝ 28．改变二次积分的积分次序?dx?1elnx0f(x,y)dy＝ elnyyeey1A．?dy?1elny0f(x,y)dx B．?dy?f(x,y)dx f(x,y)dx C．?dy?01eyef(x,y)dx D．?dy?019．设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[??,?]上的表达式为f(x)?x， 将它展开成傅立叶级数时，傅立叶系数bn? 122 C．(?1)n?1 D．(?1)n nnn2x10．微分方程y???y??6y?xe的一个特解应具有的形式 A．0 B．(?1)n?1A．(Ax?B)e2x B．(Ax2?Bx)e2x C．(Ax?B)e3x D．(Ax2?Bx)e3x 3 二、解答下列各题（每小题8分，共40分） 1．求球面x2?y2?z2?50与锥面x2?y2?z2的交线上点M0(3,4,5)处的切线和法平面方程。 2．计算??y?x2dxdy，其中D为|x|?1,0?y?1 D?ydx?xdyx2y23．计算曲线积分?，式中L是正向椭圆??1 L4x2?3y2344．把f(x)?1展开为x的幂级数，并指出收敛域。 2x?7x?12?u?2u5．设u?f(y?z,z?x,x?y)，f具有二阶连续偏导数，求,． ?x?y?x 三、解答下列各题（每小题10分，共20分） 1．求二元函数f(x,y)?x2y(4?x?y)在由直线x?y?6,x?0,y?0所围成的闭区域D上的最值。 2． 计算22222(y?x)dydz?(z?y)dzdx?(x?z)dxdy，其中?为曲面z?x?y(0?z?1)上侧 ???y四、（10分）假设f(1)?f?(1)?0，且当x?0时u(x,y)是(lnx?f?(x))dx?f?(x)dy的一个原函x数，求f(x)和u(x,y) 二00八级 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题3分，共36分） 1．函数f(x,y)?x2y?xy2在点M(1,2)的方向导数最大值为 ?sin2(x2?y2)?2．函数f(x,y)??x2?y2?2?x2?y2?0x2?y2?0在原点O(0,0)处 A．无定义 B．有极限但不连续 C．无极限 D．连续 3．曲面x2?y2?z2?4在(2,-3,3)处的法线方程 A．2x?3y?3z?4 B．2x?3y?3z??4 C．x?2y?3z?3x?2y?3z?3???? D．2?3?3233?4.级数?n?1(?1)n2n?n?2A．发散 B．条件收敛 的敛散性是 C．绝对收敛 D．敛散性不定 5．设L为圆周(x?1)2?(y?1)2?1，取逆时针方向， 4 (x?y)dx?(x?y)dy? . Lx2?y2A．0 B．? C．2? D．?2? 则曲线积分??6．级数?(lgx)n收敛区间为 n?1A．(-1,1) B．(-10,10) C．(?7．级数?(?111,) D．(,10) 10101011?n)的和S = n!2n?1A．e+2 B．e+1 C．e D．e-1 8．微分方程y???y?3sinx?4cosx的特解形式应设为 A．Acosx?Bsinx B．x(Acosx?Bsinx) C．x2(Acosx?Bsinx) D．(Ax2?B)sinx?Cxcosx 119．微分方程(2xy2?)dx?(2x2y?)dy?0的通解是 xy10．设L是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形闭路， 1ds?_____ 则曲线积分?Lx?y11．设?为x2?y2?z2?R2，则??(x2?y2?z2)dS?_____ ?12．设u??2u?2u?2u，则2?2?2?_____ 222?x?y?zx?y?z1二、解答下列各题（每小题8分，共32分） 1．交换积分次序并求值?R20dx?(x?y)dy??0x22RR2dx?R2?x20(x2?y2)dy. ?u2．设u?f(x,xy,xyz)，f具有二阶连续偏导数，求,?x?2u. ?x?zx?1(x?1)2(x?1)3(x?1)4?2?3?4???的收敛域。 3．求幂级数1?323334354．将函数f(x)?2?|x|(|x|?1)展开成以2为周期的傅立叶级数。 三、解答下列各题（每小题9分，共18分） 1．设曲线积分?yf(x)dx?(2xf(x)?x2)dy在x?0内与路径无关，其中f(x)可导且f(1)?0，求Lf(x). 2． 计算曲面积分222ydydz?xdzdx?zdxdy z?x?y，其中?为被z?1,z?2所截部分的外侧。???四、解下列各题（第一小题8分，第二小题6分，共14分） 1．在平面3x?2z?0上求一点(x，y，z)，使它与点A(1,1,1)，B(2,3,4)的距离平方和为最小。 5
高等数学下册2005-2015各届试题 - 图文
