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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
xxyyx2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.
ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切
abxxyy点弦P1P2的直线方程是02?02?1.
abx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点
ab?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?F1PF2?b2tan?2.
x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和
A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则
abb2kOM?kAB??2，
ab2x0即KAB??2。
ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是
abx0xy0yx02y02?2?2?2. a2bab3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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x2y213. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
abx2y2x0xy0y??2?2. a2b2ab双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴
为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：
P在左支）
x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程
abxxyy是02?02?1. abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切
abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02?02?1.
abx2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意
ab2一点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot?2.
x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)
ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶
点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y211. AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB
abb2x0b2x0的中点，则KOM?KAB?2，即KAB?2。
ay0ay03eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方
abx0xy0yx02y02程是2?2?2?2.
ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程
abx2y2x0xy0y是2?2?2?2. abab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
椭 圆
x2y21. 椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直
abx2y2线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线
abb2x0交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC?2（常数）.
ay0x2y23. 若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,
ab?PF1F2??, ?PF2F1??，则
a?c???tancot. a?c22x2y24. 设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上
ab任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
sin??sin?ax2y25. 若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0
ab＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
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x2y26. P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，
ab则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7. 椭圆22abA2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
x2y28. 已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
ab224ab11112+|OQ|2的最大值为???;（2）|OP|;OP?OQ.（1）222222a?b|OP||OQ|aba2b2（3）S?OPQ的最小值是2. 2a?bx2y29. 过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦
ab|PF|e?. MN的垂直平分线交x轴于P，则
|MN|2x2y210. 已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平
aba2?b2a2?b2?x0?分线与x轴相交于点P(x0,0), 则?. aax2y211. 设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点
ab2b2?2记?F1PF2??，则(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?btan.
1?cos?2x2y212. 设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
ab?PAB??, ?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
2ab2|cos?|2a2b22cot?. (1)|PA|?2.(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?2a?c2cos2?b?a2x2y213. 已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F
ab的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
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焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
x2y21. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴
abx2y2平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22. 过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补
abb2x0的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC??2（常数）.
ay0x2y23. 若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,
abF
2
是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则
c?a???tancot（或c?a22c?a???tancot）. c?a22x2y24. 设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）
ab为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??,
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08高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
