导数在经济学中的一些简单的应用
摘 要：数学的理论知识在各个领域都有很多的应用，在经济学中的应用也非常广泛，本文主要介绍导数在经济学中的一些简单的应用。首先，介绍了导数在弹性方面的应用;其次，介绍了导数在边际量方面的应用；最后，介绍了导数在生产领域中的应用。本文还列举了一些具体的例子，通过这些例子使我们更深刻的理解导数在经济学中的应用，同时还总结了一些常用的计算公式和解决经济问题时所需要的具体步骤。 关键词:导数 极大值 拉格朗日乘数 偏导数
Derivative in Economics of Some Simple Application
Abstract:Mathematical theory knowledge in various fields has lots of applications.The application in
economics is very extensive.This paper mainly introduces some of the economics derivative simple application.Firstly,Introduces the application in the elastic derivative.Secondly,Introduced the derivative application in marginal quantity.Finally,Introduces the application in production field derivative.Through these examples make us more profound understanding of derivative, and the application in economics also summarized some common calculation formula and solve an economic problem need concrete steps.
Key words:Derivative Maximum value Lagrange's multiplier Partial derivative
1.导数在弹性方面的应用
在物理学中，如果我们知道两个变量路程和时间的函数关系，运用导数的概念就可以求出速度和时间的关系。同理，在经济学中如果知道两个经济变量之间的函数关系，我们就可以通过导数这一数学工具来推导出弹性在这方面的应用。 1.1 弹性的定义
如果给了我们两个经济变量之间的函数关系为T?f(I)，则点弹性公式为：
1
?TdTdTIe?limT?T??； ?I?0?IdIdITIIe为弹性系数；?I、?T分别为变量I、T的变动量。
1.2 需求的价格弹性
我们假设需求函数为Y?f(X)，ex表示需求的价格弹性系数，则需求的价格点弹性的公式为：
ex?lim??X?0?YXdYX???? ?XYdXY
1.3 需求的交叉价格弹性
我们假设商品M的需求量为QM是它的相关商品N的价格PN的函数，即
QM?f(PN)，则商品M的需求的交叉价格点弹性公式为：
?QMdQMPNQ?limM??； ?PN?0?PdPQNNMPNeMN 例 假设在广州市某市场上有M,N两家方便面生产厂商，这两家厂商是生产同种方便面但是有差异的竞争者；在广州该市场对方便面厂商M来说，它的的需求函数为PM?300?QM,对另一个方便面厂商N来说，它的需求曲线为PN?200?0.5QN;两个方便面厂商目前的销售量分别为QM?100,QN?100。求： (1) M,N两个方便面厂商的需求的价格弹性eM,eN分别是多少？
(2) 如果一个方便面厂商N降价后，使得方便面N厂商的需求量增加为QN?200，同时使竞争对手方厂商M的需求量减少为QM?80。那么，方便面厂商M的需求的交叉价格弹性eMN为多少？
解：(1) 当QM?100时，PM?300?100?200；当QN?100时，
PN?200?0.5?100?150;
2
eM??dQPdQMPM200150???(?1)??2；eN??N?N??(?2)??3。 dPQ100dPQ100MMNN(2) 当QM?80时,PM?300?80?120 且?QM??100；
当QN?200时，PN?200?0.5?200?100 且?PN??100 ；
所以 eMN?
1.4 需求的收入弹性
?QMPN?201001????。 ?PNQM?100804 我们假设需求量用S表示，消费者收入用T表示，两者之间的函数关系为
T?f(S)，则该商品的需求的收入弹性公式为：
eT?lim?STdST???
?T?0?TSdTS 例 假定某农民对于大米的消费量S与该农民的收入T之间的函数关系为
T?1000S3。求：当该农民的收入为T?64000时，他对大米的需求的收入点弹性是
多少？
解答：依题意得
3 S?当T?64000时，可得S?4 需求的收入点弹性公式可得：
eT?limT 1000?STdST1?T?1T1????????? ??T?0?TSdTS3?1000?1000S3?231可见当T?64000时，该农民对大米的需求的收入的点弹性为。
32.导数在边际量方面的应用
(1)我们假设某一个化肥厂的总成本函数用TC(X)表示，该化肥厂的边际成本就是总成本的导数，用公式表示为：
MC(X)?lim?TC(X)dTC??TC?(X)
?Q?0?XdX 3
(2) 我们假设某啤酒生产厂商的总收益用TR(X)表示，该啤酒生产厂商的边际收益用就是总收益的导数，用公式表示为：
MR(X)?lim?TR(X)dTR(X)??TR?(X)
?Q?0?XdX (3)我们假设某服装生产厂商的总利润用?(X)表示，该服装生产厂商的边际利润用公式表示为：
??(X)?lim?(X??X)??(X)?X?X?0
从上面三个具体的实例我们可以很清楚的看出，只要能列出总成本函数，总收益函数，总利润函数，分别对它们求导就可以求出边际成本，边际收益，边际利润。
1 例 设服装厂的总成本关于产量T的函数为C(T)?200?3T?T2，需求量T关
2于价格Y的函数为Y?30T解答：
?13，求该服装厂的边际成本，边际收益，边际利润。
?TC(T)dTC??C?(T)?3?T
?Q?0?TdT23由边际成本的定义知，边际成本 MC(T)?lim又因总收益函数
TR(T)?Y?T?30T，
23?13于是边际收益 MR?TR?(T)?(30T)??20T 总利润为 ?(T)?TR(T)?TC(T)， 而边际利润为
??(T)??TR(X)?TC(X)??MR?MC?20T??13?T?3
3.导数在生产领域中的应用
3.1 利用偏导数的性质求最优的生产要素组合
在生产过程中我们经常遇到这样的问题，当成本给定时我们求最优的要素组合，当产量一定时求最小的成本，像这类问题我们首先建立数学模型，然后用数学知识来解决。解决这类问题的步骤，首先我们用高等数学中的知识先设出拉格朗日方程，再对变量求偏导，在列出所用的方程，求出所要求的问题的答案。下面我们看实际生产中的几个例子：
例1 已知某啤酒生产厂商，该生产啤酒的厂商的生产函数为S?A?B，A,B为该厂商的两种生产要素，一种生产要素A的价格a?4，另一种生产要素B的价格
4
1212
b?1。
求：(1)当啤酒厂商的资金为M?200时，当啤酒厂商产量达到最大时，生产要素A、B和最大的产量S的值分别是多少。
(2)当啤酒厂商的产量为S?100时，当啤酒厂商的成本最小时，这时啤酒厂商获利最大，此时生产要素的最优组合A、B和最小的成本M的值分别是多少。 解答：
(1)由题意可知，M?4A?B
S?A?B
1212为了实现最大产量： MRTSAB?MPAa??4 MPBb当啤酒厂商的成本固定为M?200时，解得 A?25,B?10 0再代入啤酒厂商的生产函数可得最大产量 S?50
(2)同理可得， 10?0A?B；MRTSAB?A?50,B?200M?4001212MPAa??4 MPBb
例2 已知某生产手机的厂商，该厂商的生产函数为S?A?B,A,B为该手机生产厂商的两种生产要素，又设该厂商的两种生产要素的价格分别为PA?3元，PB?5元。 (a)当该厂商生产的手机的产量S?10时，该厂商的最低成本支出和最优的生产要素组合A,B的数量为多少？
(b)该当手机生产厂商的成本为160时，A,B的最优要素组合分别是多少？ 解： (a)由已知，该手机生产厂商的总成本方程为TC?3A?5B
385810?S?A?B
设拉格朗日函数为X?3A?5B??(10?A?B) (1) 对(1)式分别求A,B及?的偏导数并令其为零，则得
5
38583858
导数在经济学中的一些简单的应用
