2009年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1．（4分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数= ． 2．（4分）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是 ． 3．（4分）若行列式
中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是 ．
4．（4分）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是 ．
5．（4分）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是 （结果用反三角函数值表示）．
6．（4分）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是 ．
7．（4分）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，
若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ （结果用最简分数表示）．
8．（4分）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是 ． 9．（4分）已知F1、F2是椭圆C：上一点，且
（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C
．若△PF1F2的面积为9，则b= ．
，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形
10．（4分）在极坐标系中，由三条直线θ=0，的面积等于 ． 11．（4分）当
时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是 ．
12．（4分）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{an}满足an∈（﹣
），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k= 时，f（ak）
=0．
13．（4分）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外） 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短． 14．（4分）将函数
（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方
向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为 ．
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
15．（4分）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16．（4分）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等
于（ ） A．0
B．
C． D．
17．（4分）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
18．（4分）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+SIV=S||+S|||则直线AB有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
三、解答题（共5小题，满分78分）
19．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．
20．（16分）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识
的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科
知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降； （2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
21．（16分）已知双曲线
，设直线l过点
，
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当k＞离为
．
时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距
22．（16分）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”． （1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由； （2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．
23．（16分）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列． （1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？说明理由； （2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，
，并说明理由；
（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．
2009年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1．（4分）（2009?上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数= i ．
【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算
【解答】解：设z=a+bi， 则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i， 即a﹣b+（a+b）i=1﹣i， 由
，
解得a=0，b=﹣1， 所以z=﹣i， =i， 故答案为i．
2．（4分）（2009?上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集． 【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}， 且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立． 故答案为：a≤1．
2009年上海市高考数学试卷(理科)及答案
