高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑
一、【重点知识结构】 集合及元素 集合的基本概念 集合分类及表示 子集、包含与相等 集合 集合与集合的关系
交集、并集、补集 集合的应用 解含绝对值符号、一元 二次、简单分式不等式 逻辑联结词
命题 简单命题与复合命题 四种命题及其关系 简易逻辑 充分必要条件 二、【高考要求】
1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相
等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合. 2. 理解|ax+b|
不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法. 3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件
的意义和判定.
4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；
学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力. 三、【高考热点分析】
集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现. 四、【高考复习建议】
概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题. 五、【例 题】
- 1 -
【例1】 设x,y?R,A?{a|a?x2?3x?1},B?{b|b?y2?3y?1}，求集合A与B之间的关系。
3555解：由a?x2?3x?1?(x?)2???，得A={x|x??}
2444355b?y2?3y?1?(y?)2???
244∴A=B
【例2】 已知集合A={x|x2?3x?10?0}，集合B={x|p?1?x?2p?1}，若B?A，求实数p的取值范围。
解：若B=Φ时，p?1?2p?1?p?2
?p?1?2p?1?若B≠Φ时，则??2?p?1?2?p?3
?2p?1?5?综上得知：p?3时，B?A。
【例3】 已知集合A?{(x,y)|A?B??，
y?3?a?1}，集合B={(x,y)|(a2?1)x?(a?1)y?30}。如果x?2试求实数a的值。
解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B； 当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ
当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ
当a≠±1时，集合A：y?3?(a?1)(x?2)，(2,3)?A，只有(2,3)?B才满足条件。 故(a2?1)?2?(a?1)?3?30；解得：a=－5或a=∴a=1或a=
7或a=－1或a=－5。 27 2【例4】 若集合A={3?2x,1,3}，B={1,x2}，且A?B?{3?2x,1,3}，求实数x。 解：由题设知A?B?A，∴B?A，故x2?3或x2?3?2x
即x??3或x?1或x??3，但当x?1时，3?2x?1不满足集合A的条件。 ∴实数x的值为?3或?3。
【例5】 已知集合A={x|10?3x?x2?0}，B={x|x2?2x?2m?0}，若A?B?B，求实数m的值。
解：不难求出A={x|?2?x?5}，由A?B?B?B?A，又x2?2x?2m?0，??4?8m
- 2 -
①若4?8m?0，即m?②若4?8m?0，即m?1，则B???A 21，B?{x|1?1?2m?x?1?1?2m}， 2?1?1?1?2m??2∴???4?m?
2??1?1?2m?5故由①②知：m的取值范围是m?[?4,??)
注：不要忽略空集是任何集合的子集。 【例6】 已知集合C={x|x2?2x?8?0}，
若A?B??与A?C??同时成立，求实数a的值。
解：易求得B={2,3}，C={2,?4}，由A?B??知A与B的交集为非空集。 故2，3两数中至少有一适合方程x2?ax?a2?19?0
又A?C??，∴2?A，即9?3a?a2?19?0得，a=5或a=－2 当a=5时，A={2,3}，于是A?C?{2}??，故a=5舍去。 当a=－2时，A={2,5}，于是A?B?{3}??，∴a=－2。
【例7】 A?{x|x2?3x?2?0}，B?{x|2x2?ax?2?0}，A∪B=A，求a的取值构成的集合。
解：∵A∪B=A，∴B?A，当B??时a2?16?0，∴-4 A?{x|x2?3x?2?0}?{1,2}，当1∈B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B={1}，当2 A={x|x2?ax?a2?19?0}，B={x|log2(x2?5x?8)?1}， ∈B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时B?{,2}?A，a=5舍去，∴-4 【例8】 已知A?{x|x2?3x?2?0}，B?{x|ax?2?0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C。 解：由A={1，2}，由A∪B=A，即B?A，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。 另外显然有当a=0时，B?? 也符合。所以C={0，1，2}。 【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求： （1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数； （4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。 解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人 如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5） 12- 3 -
高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑
