测出周期T就能算出mA和mB，D正确。]
12．天文观测中观测到有三颗星始终位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动，如图所示。已知引力常量为G，不计其他星球对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
16πl
A．它们两两之间的万有引力大小为4
9GT3GT
B．每颗星的质量为23
4πlC．三颗星的质量可能不相等 23πl
D．它们的线速度大小均为
T
A [三颗星的轨道半径r等于等边三角形外接圆的半径，即r＝
3
l。根据题意可知其中任意两颗星3
2
44
对第三颗星的合力指向圆心，所以任意两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于任意两颗星到第三颗星的距离相同，故任意两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设每颗星的质量为m，则F合＝2Fcos 30°3Gm4π4πl＝2。星球做匀速圆周运动，合力提供向心力，故F合＝m2r，解得m＝2，它们两两之间的万有
lT3GT
G?
2
2
23
Gm引力F＝2＝l
2
?4πl?2??3GT?
l
2
23
2
44
2
16πlv23πl＝，4，选项A正确，B、C错误。根据F合＝m可得，线速度大小v＝
9GTr3T
选项D错误。]
[考点综合练]
13．(多选)(2019·张家界模拟)2018年7月27日发生火星冲日现象，我国整夜可见，火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列在同一条直线上，地球位于太阳与火星之间，此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球，所以明亮且易于观察。地球和火星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道
半径为地球公转轨道半径的1.5倍，则( )
A．地球的公转周期比火星的公转周期小 B．地球的运行速度比火星的运行速度小 C．火星冲日现象每年都会出现
D．地球与火星的公转周期之比为8∶27
Mm4π
AD [已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则由G2＝m2r得，T＝2π
rTMmv
大，周期越大，故火星的公转周期比地球的大，选项A正确；又由G2＝m可得v＝rr
2
2
r
，可知轨道半径越GM
GM
，则轨道半径越r
3T火
大，线速度(即运行速度)越小，故火星的运行速度比地球的小，选项B错误；根据开普勒第三定律得，T地＝
r火
3＝3r地
278
，因为地球的公转周期为1年，所以火星的公转周期大于1年，不是每年都出现火星冲日现
象，故选项C错误，D正确。]
14．(多选)2018年5月25日21时46分，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继卫星成功实施近月制动，进入月球至地月拉格朗日L2点的转移轨道。当“鹊桥”位于拉格朗日点(如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为地月系统拉格朗日点)上时，会在月球与地球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动，下列说法正确的是(月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期)( )
A．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的周期和月球的自转周期相等
B．“鹊桥”位于L2点时，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度 C．L3和L2到地球中心的距离相等
D．“鹊桥”在L2点所受月球和地球引力的合力比在其余四个点都要大
ABD [“鹊桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球同步绕地球做圆周运动，所以“鹊桥”绕地球运动的周期和月球绕地球运动的周期相等，又月球的自转周期等于月球绕地球运动的周期，故选项A正确；“鹊
桥”位于L2点时，由于“鹊桥”与月球绕地球做圆周运动的周期相同，“鹊桥”的轨道半径大，根据公式4π
a＝2r分析可知，“鹊桥”绕地球运动的向心加速度大于月球绕地球运动的向心加速度，故选项B正确；
T如果L3和L2到地球中心的距离相等，则“鹊桥”在L2点受到月球与地球引力的合力更大，加速度更大，所以周期更短，故L2到地球中心的
距离大于L3到地球中心的距离，选项C错误；在5个点中，L2点离地球最远，所以在L2点“鹊桥”所受合力最大，故选项D正确。]
15．(多选)如图甲所示，假设某星球表面上有一倾角为θ的固定斜面，一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动，其速度—时间图象如图乙所示。已知小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝星球半径为R＝6×10 km，引力常量G＝6.67×10
4
－11
2
2
2
3
，该9
N·m/kg，π取3.14，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A．该星球的第一宇宙速度v1＝3.0×10 m/s B．该星球的质量M＝8.1×10 kg C．该星球的自转周期T＝1.3×10 s D．该星球的密度ρ＝896 kg/m
ABD [物块上滑过程中，根据牛顿第二定律，在沿斜面方向上有μmgcos θ＋mgsin θ＝ma1，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，又知v-t图象的斜率表示加速度，则上滑和下6－0222222
滑过程中物块的加速度大小分别为a1＝ m/s＝10 m/s，a2＝ m/s＝5 m/s，联立解得g＝15 m/s，
0.60.4该星球的第一宇宙速度为v1＝gR＝15×6×10×10 m/s＝3.0×10 m/s，故选项A正确；根据黄金代换gR15×6×10×10
式GM＝gR可得该星球的质量为M＝＝－11G6.67×10
2
2
4
3
2
4
3
4
3
4
26
4
kg＝8.1×10 kg，故选项B正确；根据所
26
M8.1×10
给条件无法计算出该星球的自转周期，故选项C错误；该星球的密度ρ＝＝
V443
×π×6×10×103kg/m＝896 kg/m，故选项D正确。]
3
3
26
3
高考真题集中练 (教师用书独具)
1．(多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
T0
A．从P到M所用的时间等于
4B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
CD [A错：由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等。 B错：由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，机械能守恒。 C对：从P到Q阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小。
D对：从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功。] 2．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 C．8∶1
3
B．4∶1 D．16∶1
rTPC [由开普勒第三定律得2＝k，故＝
TTQ
?RP?＝
?RQ???
3?16?＝8，C正确。] ?4?1??
3
3．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 C．动能变大
B．速率变大 D．向心加速度变大
C [天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道运行，根据Mmmv4π
G2＝ma＝＝mr2可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项CrrT正确。]
4．(多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 C．速率之和
B．质量之和 D．各自的自转角速度
2
2
BC [由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝
12π
s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，12T
m1m2m1m222
轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G2＝m1ωr1、G2＝m2ωr2，又r1＋r2＝L＝400 km，
LLωL
解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题
G中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。]
5．(2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h C．8 h
B．4 h D．16 h
23
B [万有引力提供向心力，对同步卫星有： GMm4π4πr
2＝mr2，整理得GM＝2
rTT当r＝6.6R地时，T＝24 h
若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地 三颗同步卫星A、B、C如图所示分布 4π则有
2
2
23
6.6R地2T
3
＝
4π
2
2R地2T′
3
2020版高考一轮复习：课后限时集训13 万有引力与航天
