所以AC?(2,23,4)，AE?(2,?23,0)， 设平面ACE的法向量为n?(x,y,z)， 则令y?1，则x?3，z??3，
即平面ACE的一个法向量为n?(3,1,?3)， 易知平面AEF的一个法向量为AD?(0,0,4)，
?设二面角C?AE?F的大小为?，由图易知??(0,)，
2所以cos??|nAD|4321． ??7|n||AD|7?4故二面角C?AE?F的余弦值为21． 7
19．中国农业银行开始为全国农行ATM机安装刷脸取款系统，某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况，制作了刷脸取款知识有奖调查问卷，发放给2018年度该行的所有客户，并从参与调查且年龄（单位：岁）在[25，55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励，再从中选出一名客户参加幸运大抽奖．调查结果按年龄分成组，制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图，其中a:b:c?2:4:5． 年龄/岁 频数/人 [25，30) [30，35) a [35，40) b [40，45) c [45，50) [50，55] 5 15 25 4，第一次抽奖，5幸运大抽奖方案如下：客户最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为
若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛掷一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：抛出的硬币，若反面朝上，则客户获得5000元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，客户需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，如果中奖，则获得奖金10000元，如果未中奖，则所获得的奖金为0元．
（1）求a，b，c的值，若分别从男、女客户中随机选取1人，求这2人的年龄均在[40，45)内的概率；
（2）若参加幸运大抽奖的客户所获奖金（单位：元）用X表示，求X的分布列与数学期望E(X)．
【解答】解：（1）由频数分布表知，a?b?c?100?45?55． 因为a:b:c?2:4:5，所以a?245?55?10，b??55?20，c??55?25， 111111由茎叶图可知年龄在[25，30)内的女客户有2人，年龄在[30，35)内的女客户有4人，年龄在[35，40)内的女客户有8人，年龄在[40，45)内的女客户有10人，年龄在[45，50)内的女客户有6人，年龄在[50，55]内的女客户有10人，
故年龄在[40，45)内的男客户有15人，在100名客户中，男客户有60人，女客户有40人，所以从男客户中随机选取1人，年龄恰在[40，45)内的概率P1?从女客户中随机选取1人，年龄恰在[40，45)内的概率P2?151?， 604101?， 404则分别从男、女客户中随机选取1人，这2人的年龄均在[40，45)内的概率P?P1?P2?111． ??4416（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，5000，10000， 则P(X?0)?141174124148，P(X?5000)???，P(X?10000)????． ????55252552552525X的分布列为 X P 0 7 255000 2 510000 8 25E(X)?0?728?5000??10000??5200（元)． 2552520．已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C:y2?2px于A，B两点，直线l2:x??2交x轴于点Q．
（1）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1?k2的值；
（2）点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，OMON?2，求抛物线C的方程．
【解答】（1）解：设直线AB的方程为x?ky?2， ?y2?2px联立?可得，y2?2pky?4p?0，
?x?ky?2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1?y2?2pk，y1y2??4p，
(y1y2)2?x1x2??4，x1?x2?k(y1?y2)?4?2pk2?4， 24pQ(?2,0)， ?k1?y1y2，k2? x1?2x2?2y1y2y(x?2)?y2(x1?2)y1(ky2?4)?y2(ky1?4)2ky1y2?4(y1?y2)??12??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)x1x2?2(x1?x2)?4x1x2?2(x1?x2)?4?k1?k2? ??8pk?8pk?0
x1x2?2(x1?x2)?4（2）由（1）可得，直线QA，QB的斜率互为相反数，则有AB?x轴，此时k?0 点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，不妨取P(0,0)， 设M(?2,a)，N(?2,b)， OMON?4?ab?2， ?ab??2，
kPA?kPM，kPN?kPB， ?y1yab?，2?， x1?2x2?2y1y2ab1???， x1x242两式相乘可得，?
?4p1??， 421，抛物线C的方程为：y2?x． 2?p?21．已知函数f(x)?ex?2ax．
（1）当a?1时，求曲线y?f(x)在x?1处的切线方程； （2）若函数f(x)在区间[1，??)上的最小值为0，求a的值． 【解答】解：（1）当a?1时，f(x)?ex?2x，f?(x)?ex?2， 所求切线的斜率f?（1）?e?2，又f（1）?e?2． 所以曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为y?(e?2)x
0时，函数f(x)?ex?2ax?0，不符合题意． （2）当a…当a?0时，f?(x)?ex?2a，令ex?2a?0，得x?ln(?2a)， 所以当x?(ln(?2a)，??)时，f?(x)?0，函数f(x)单调递减 当x?(ln(?2a)，??)时，f?(x)?0，函数f(x)单调递增．
e①当ln(?2a)?1，即??a?0时，f(x)的最小值为f（1）?2a?e．
2e解2a?e?0，得a??，符合题意．
2e②当ln(?2a)?1，即a??时，f(x)的最小值为f[ln(?2a)]??2a?2aln(?2a)．
2e解?2a?2aln(?2a)?0，得a??，不符合题意．
2e综上，a??．
2请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为?cos??4．
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM||OP|?16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
?（2）设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求?OAB面积的最大值．
3
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x?4， 设P(x,y)，M(4,y0)，则|OM||OP|?16， ?x2?y216?y02?16，
4yxy，?y0?， ?x4y0y2即(x?y)(1?2)?16，
x22?x4?2x2y2?y4?16x2，即(x2?y2)2?16x2，
两边开方得：x2?y2?4x， 整理得：(x?2)2?y2?4(x?0)，
?点P的轨迹C2的直角坐标方程：(x?2)2?y2?4(x?0)．
（2）点A的直角坐标为A(1,3)，显然点A在曲线C2上，|OA|?2， ?曲线C2的圆心(2,0)到弦OA的距离d?4?1?3，
??AOB的最大面积S?1|OA|(2?3)?2?3． 2[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f(x)??x2?ax?4，g(x)?|x?1|?|x?1|． （1）当a?1时，求不等式f(x)…g(x)的解集；
（2）若不等式f(x)…g(x)的解集包含[?1，1]，求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a?1时，f(x)??x2?x?4，是开口向下，对称轴为x??2x,x?1?g(x)?|x?1|?|x?1|??2,?1剟x1，
??2x,x??1?1的二次函数， 2当x?(1,??)时，令?x2?x?4?2x，解得x?17?1，g(x)在(1,??)上单调递增，f(x)在217?1]； 2(1,??)上单调递减，?此时f(x)…g(x)的解集为(1，当x?[?1，1]时，g(x)?2，f(x)…f(?1)?2．
当x?(??,?1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(?1)?f(?1)?2． 综上所述，f(x)…g(x)的解集为[?1，17?1]； 22在[?1，1]恒成立，即x2?ax?2?0在[?1，1]恒成立，则只（2）依题意得：?x2?ax?4…?12?a1?2?0a1， 需?，解得?1剟2?(?1)?a(?1)?2?0故a的取值范围是[?1，1]．
2019-2020学年河北省张家口市高三（上）入学数学试卷（理科）（9月份）试题及答案（解析版） - 图文
